Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66109 / 76009
↖ ↑ ↗
← S 27.627574°
E  1.573791°		 ← 270.60 m → S 27.627574°
E  1.576538°		 →
↑
270.58 m
↓
↑
270.58 m
↓
S 27.630007°
E  1.573791°		 ← 270.60 m →
73 217 m²		 S 27.630007°
E  1.576538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504375457763672 y=0.579906463623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504375457763672 × 217)
    floor (0.504375457763672 × 131072)
    floor (66109.5)     		tx = 66109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579906463623047 × 217)
    floor (0.579906463623047 × 131072)
    floor (76009.5)     		ty = 76009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66109 / 76009 ti = "17/66109/76009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66109/76009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66109 ÷ 217
    66109 ÷ 131072     		x = 0.504371643066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76009 ÷ 217
    76009 ÷ 131072     		y = 0.579902648925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504371643066406 × 2 - 1) × π
    0.0087432861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02746784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579902648925781 × 2 - 1) × π
    -0.159805297851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.502043149720848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02746784} λ = 0.02746784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.502043149720848))-π/2
    2×atan(0.605292691872034)-π/2
    2×0.544302100001868-π/2
    1.08860420000374-1.57079632675     		φ = -0.48219213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02746784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.573791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48219213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.627574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66109 KachelY 76009 0.02746784 -0.48219213 1.573791 -27.627574
    Oben rechts KachelX + 1 66110 KachelY 76009 0.02751578 -0.48219213 1.576538 -27.627574
    Unten links KachelX 66109 KachelY + 1 76010 0.02746784 -0.48223460 1.573791 -27.630007
    Unten rechts KachelX + 1 66110 KachelY + 1 76010 0.02751578 -0.48223460 1.576538 -27.630007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48219213--0.48223460) × R
    4.24700000000167e-05 × 6371000     		dl = 270.576370000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48219213--0.48223460) × R
    4.24700000000167e-05 × 6371000     		dr = 270.576370000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02746784-0.02751578) × cos(-0.48219213) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.885980512409047 × 6371000     		do = 270.601253628111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02746784-0.02751578) × cos(-0.48223460) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.885960817316618 × 6371000     		du = 270.595238239932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48219213)-sin(-0.48223460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885980512409047-0.885960817316618)×R²
    abs(0.02751578-0.02746784)×1.96950924289396e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.96950924289396e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.96950924289396e-05×40589641000000     		ar = 73217.4911242526m²