Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66103 / 96807
↖ ↑ ↗
← S 64.819739°
E  1.557312°		 ← 129.95 m → S 64.819739°
E  1.560059°		 →
↑
129.90 m
↓
↑
129.90 m
↓
S 64.820907°
E  1.557312°		 ← 129.94 m →
16 881 m²		 S 64.820907°
E  1.560059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504329681396484 y=0.738582611083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504329681396484 × 217)
    floor (0.504329681396484 × 131072)
    floor (66103.5)     		tx = 66103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738582611083984 × 217)
    floor (0.738582611083984 × 131072)
    floor (96807.5)     		ty = 96807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66103 / 96807 ti = "17/66103/96807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66103/96807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66103 ÷ 217
    66103 ÷ 131072     		x = 0.504325866699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96807 ÷ 217
    96807 ÷ 131072     		y = 0.738578796386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504325866699219 × 2 - 1) × π
    0.0086517333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02718022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738578796386719 × 2 - 1) × π
    -0.477157592773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.49903478801878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02718022} λ = 0.02718022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49903478801878))-π/2
    2×atan(0.223345632023667)-π/2
    2×0.219739234302953-π/2
    0.439478468605905-1.57079632675     		φ = -1.13131786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02718022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.557312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13131786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.819739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66103 KachelY 96807 0.02718022 -1.13131786 1.557312 -64.819739
    Oben rechts KachelX + 1 66104 KachelY 96807 0.02722816 -1.13131786 1.560059 -64.819739
    Unten links KachelX 66103 KachelY + 1 96808 0.02718022 -1.13133825 1.557312 -64.820907
    Unten rechts KachelX + 1 66104 KachelY + 1 96808 0.02722816 -1.13133825 1.560059 -64.820907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13131786--1.13133825) × R
    2.03899999999813e-05 × 6371000     		dl = 129.904689999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13131786--1.13133825) × R
    2.03899999999813e-05 × 6371000     		dr = 129.904689999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02718022-0.02722816) × cos(-1.13131786) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.425467549125546 × 6371000     		do = 129.948741037656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02718022-0.02722816) × cos(-1.13133825) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.425449096623732 × 6371000     		du = 129.943105168634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13131786)-sin(-1.13133825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425467549125546-0.425449096623732)×R²
    abs(0.02722816-0.02718022)×1.84525018138704e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.84525018138704e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.84525018138704e-05×40589641000000     		ar = 16880.5848579107m²