Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66102 / 37290
↖ ↑ ↗
← N 61.044991°
E  1.554566°		 ← 147.83 m → N 61.044991°
E  1.557312°		 →
↑
147.87 m
↓
↑
147.87 m
↓
N 61.043661°
E  1.554566°		 ← 147.84 m →
21 861 m²		 N 61.043661°
E  1.557312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504322052001953 y=0.284503936767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504322052001953 × 217)
    floor (0.504322052001953 × 131072)
    floor (66102.5)     		tx = 66102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.284503936767578 × 217)
    floor (0.284503936767578 × 131072)
    floor (37290.5)     		ty = 37290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66102 / 37290 ti = "17/66102/37290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66102/37290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66102 ÷ 217
    66102 ÷ 131072     		x = 0.504318237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37290 ÷ 217
    37290 ÷ 131072     		y = 0.284500122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504318237304688 × 2 - 1) × π
    0.008636474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02713229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.284500122070312 × 2 - 1) × π
    0.430999755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.35402566666811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02713229} λ = 0.02713229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.35402566666811))-π/2
    2×atan(3.87298553876975)-π/2
    2×1.31811620868789-π/2
    2.63623241737578-1.57079632675     		φ = 1.06543609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02713229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.554566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06543609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.044991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66102 KachelY 37290 0.02713229 1.06543609 1.554566 61.044991
    Oben rechts KachelX + 1 66103 KachelY 37290 0.02718022 1.06543609 1.557312 61.044991
    Unten links KachelX 66102 KachelY + 1 37291 0.02713229 1.06541288 1.554566 61.043661
    Unten rechts KachelX + 1 66103 KachelY + 1 37291 0.02718022 1.06541288 1.557312 61.043661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06543609-1.06541288) × R
    2.32099999999402e-05 × 6371000     		dl = 147.870909999619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06543609-1.06541288) × R
    2.32099999999402e-05 × 6371000     		dr = 147.870909999619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02713229-0.02718022) × cos(1.06543609) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.484122678972806 × 6371000     		do = 147.832684020179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02713229-0.02718022) × cos(1.06541288) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.484142987595478 × 6371000     		du = 147.838885502425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06543609)-sin(1.06541288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.484122678972806-0.484142987595478)×R²
    abs(0.02718022-0.02713229)×2.03086226717164e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.03086226717164e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.03086226717164e-05×40589641000000     		ar = 21860.6120241917m²