Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66101 / 76045
↖ ↑ ↗
← S 27.715142°
E  1.551819°		 ← 270.38 m → S 27.715142°
E  1.554566°		 →
↑
270.32 m
↓
↑
270.32 m
↓
S 27.717573°
E  1.551819°		 ← 270.38 m →
73 090 m²		 S 27.717573°
E  1.554566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504314422607422 y=0.580181121826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504314422607422 × 217)
    floor (0.504314422607422 × 131072)
    floor (66101.5)     		tx = 66101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580181121826172 × 217)
    floor (0.580181121826172 × 131072)
    floor (76045.5)     		ty = 76045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66101 / 76045 ti = "17/66101/76045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66101/76045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66101 ÷ 217
    66101 ÷ 131072     		x = 0.504310607910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76045 ÷ 217
    76045 ÷ 131072     		y = 0.580177307128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504310607910156 × 2 - 1) × π
    0.0086212158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02708435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580177307128906 × 2 - 1) × π
    -0.160354614257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.50376887810717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02708435} λ = 0.02708435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.50376887810717))-π/2
    2×atan(0.604249021896105)-π/2
    2×0.543537925247922-π/2
    1.08707585049584-1.57079632675     		φ = -0.48372048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02708435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.551819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48372048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.715142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66101 KachelY 76045 0.02708435 -0.48372048 1.551819 -27.715142
    Oben rechts KachelX + 1 66102 KachelY 76045 0.02713229 -0.48372048 1.554566 -27.715142
    Unten links KachelX 66101 KachelY + 1 76046 0.02708435 -0.48376291 1.551819 -27.717573
    Unten rechts KachelX + 1 66102 KachelY + 1 76046 0.02713229 -0.48376291 1.554566 -27.717573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48372048--0.48376291) × R
    4.24299999999822e-05 × 6371000     		dl = 270.321529999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48372048--0.48376291) × R
    4.24299999999822e-05 × 6371000     		dr = 270.321529999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02708435-0.02713229) × cos(-0.48372048) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.885270747683665 × 6371000     		do = 270.384473211635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02708435-0.02713229) × cos(-0.48376291) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.885251013711313 × 6371000     		du = 270.378445948527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48372048)-sin(-0.48376291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885270747683665-0.885251013711313)×R²
    abs(0.02713229-0.02708435)×1.97339723518875e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.97339723518875e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.97339723518875e-05×40589641000000     		ar = 73089.9298482683m²