Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66101 / 76044
↖ ↑ ↗
← S 27.712710°
E  1.551819°		 ← 270.39 m → S 27.712710°
E  1.554566°		 →
↑
270.39 m
↓
↑
270.39 m
↓
S 27.715142°
E  1.551819°		 ← 270.38 m →
73 109 m²		 S 27.715142°
E  1.554566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504314422607422 y=0.580173492431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504314422607422 × 217)
    floor (0.504314422607422 × 131072)
    floor (66101.5)     		tx = 66101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580173492431641 × 217)
    floor (0.580173492431641 × 131072)
    floor (76044.5)     		ty = 76044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66101 / 76044 ti = "17/66101/76044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66101/76044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66101 ÷ 217
    66101 ÷ 131072     		x = 0.504310607910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76044 ÷ 217
    76044 ÷ 131072     		y = 0.580169677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504310607910156 × 2 - 1) × π
    0.0086212158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02708435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580169677734375 × 2 - 1) × π
    -0.16033935546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.50372094120755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02708435} λ = 0.02708435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.50372094120755))-π/2
    2×atan(0.60427798841509)-π/2
    2×0.54355914405197-π/2
    1.08711828810394-1.57079632675     		φ = -0.48367804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02708435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.551819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48367804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.712710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66101 KachelY 76044 0.02708435 -0.48367804 1.551819 -27.712710
    Oben rechts KachelX + 1 66102 KachelY 76044 0.02713229 -0.48367804 1.554566 -27.712710
    Unten links KachelX 66101 KachelY + 1 76045 0.02708435 -0.48372048 1.551819 -27.715142
    Unten rechts KachelX + 1 66102 KachelY + 1 76045 0.02713229 -0.48372048 1.554566 -27.715142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48367804--0.48372048) × R
    4.24400000000325e-05 × 6371000     		dl = 270.385240000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48367804--0.48372048) × R
    4.24400000000325e-05 × 6371000     		dr = 270.385240000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02708435-0.02713229) × cos(-0.48367804) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.885290484712644 × 6371000     		do = 270.390501408317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02708435-0.02713229) × cos(-0.48372048) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.885270747683665 × 6371000     		du = 270.384473211635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48367804)-sin(-0.48372048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885290484712644-0.885270747683665)×R²
    abs(0.02713229-0.02708435)×1.97370289791721e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.97370289791721e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.97370289791721e-05×40589641000000     		ar = 73108.7856603181m²