Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66100 / 76035
↖ ↑ ↗
← S 27.690824°
E  1.549072°		 ← 270.44 m → S 27.690824°
E  1.551819°		 →
↑
270.39 m
↓
↑
270.39 m
↓
S 27.693256°
E  1.549072°		 ← 270.44 m →
73 123 m²		 S 27.693256°
E  1.551819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504306793212891 y=0.580104827880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504306793212891 × 217)
    floor (0.504306793212891 × 131072)
    floor (66100.5)     		tx = 66100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580104827880859 × 217)
    floor (0.580104827880859 × 131072)
    floor (76035.5)     		ty = 76035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66100 / 76035 ti = "17/66100/76035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66100/76035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66100 ÷ 217
    66100 ÷ 131072     		x = 0.504302978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76035 ÷ 217
    76035 ÷ 131072     		y = 0.580101013183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504302978515625 × 2 - 1) × π
    0.00860595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02703641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580101013183594 × 2 - 1) × π
    -0.160202026367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.50328950911097
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02703641} λ = 0.02703641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.50328950911097))-π/2
    2×atan(0.604538749580873)-π/2
    2×0.543750134571221-π/2
    1.08750026914244-1.57079632675     		φ = -0.48329606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02703641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.549072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48329606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.690824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66100 KachelY 76035 0.02703641 -0.48329606 1.549072 -27.690824
    Oben rechts KachelX + 1 66101 KachelY 76035 0.02708435 -0.48329606 1.551819 -27.690824
    Unten links KachelX 66100 KachelY + 1 76036 0.02703641 -0.48333850 1.549072 -27.693256
    Unten rechts KachelX + 1 66101 KachelY + 1 76036 0.02708435 -0.48333850 1.551819 -27.693256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48329606--0.48333850) × R
    4.24399999999769e-05 × 6371000     		dl = 270.385239999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48329606--0.48333850) × R
    4.24399999999769e-05 × 6371000     		dr = 270.385239999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02703641-0.02708435) × cos(-0.48329606) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.88546805550871 × 6371000     		do = 270.444736100108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02703641-0.02708435) × cos(-0.48333850) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.885448332832659 × 6371000     		du = 270.43871228718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48329606)-sin(-0.48333850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88546805550871-0.885448332832659)×R²
    abs(0.02708435-0.02703641)×1.97226760508817e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.97226760508817e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.97226760508817e-05×40589641000000     		ar = 73123.4505130354m²