Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 661 / 351
↖ ↑ ↗
← N 81.531226°
W121.904297°		 ← 1 439.27 m → N 81.531226°
W121.816406°		 →
↑
1 440.42 m
↓
↑
1 440.42 m
↓
N 81.518272°
W121.904297°		 ← 1 441.46 m →
2 074 729 m²		 N 81.518272°
W121.816406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1614990234375 y=0.0858154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1614990234375 × 212)
    floor (0.1614990234375 × 4096)
    floor (661.5)     		tx = 661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0858154296875 × 212)
    floor (0.0858154296875 × 4096)
    floor (351.5)     		ty = 351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 661 / 351 ti = "12/661/351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/661/351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 661 ÷ 212
    661 ÷ 4096     		x = 0.161376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 351 ÷ 212
    351 ÷ 4096     		y = 0.085693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.161376953125 × 2 - 1) × π
    -0.67724609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.12763135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.085693359375 × 2 - 1) × π
    0.82861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.60316539696753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12763135} λ = -2.12763135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60316539696753))-π/2
    2×atan(13.5064236333395)-π/2
    2×1.49689232648992-π/2
    2.99378465297984-1.57079632675     		φ = 1.42298833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12763135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.904297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42298833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.531226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 661 KachelY 351 -2.12763135 1.42298833 -121.904297 81.531226
    Oben rechts KachelX + 1 662 KachelY 351 -2.12609737 1.42298833 -121.816406 81.531226
    Unten links KachelX 661 KachelY + 1 352 -2.12763135 1.42276224 -121.904297 81.518272
    Unten rechts KachelX + 1 662 KachelY + 1 352 -2.12609737 1.42276224 -121.816406 81.518272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42298833-1.42276224) × R
    0.000226089999999957 × 6371000     		dl = 1440.41938999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42298833-1.42276224) × R
    0.000226089999999957 × 6371000     		dr = 1440.41938999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12763135--2.12609737) × cos(1.42298833) × R
    0.00153398000000005 × 0.147270385821466 × 6371000     		do = 1439.27150426465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12763135--2.12609737) × cos(1.42276224) × R
    0.00153398000000005 × 0.147494006831501 × 6371000     		du = 1441.45694939473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42298833)-sin(1.42276224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147270385821466-0.147494006831501)×R²
    abs(-2.12609737--2.12763135)×0.000223621010035618×R²
    0.00153398000000005×0.000223621010035618×6371000²
    0.00153398000000005×0.000223621010035618×40589641000000     		ar = 2074728.56982662m²