Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66098 / 96800
↖ ↑ ↗
← S 64.811557°
E  1.543579°		 ← 129.96 m → S 64.811557°
E  1.546325°		 →
↑
129.97 m
↓
↑
129.97 m
↓
S 64.812726°
E  1.543579°		 ← 129.96 m →
16 890 m²		 S 64.812726°
E  1.546325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504291534423828 y=0.738529205322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504291534423828 × 217)
    floor (0.504291534423828 × 131072)
    floor (66098.5)     		tx = 66098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738529205322266 × 217)
    floor (0.738529205322266 × 131072)
    floor (96800.5)     		ty = 96800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66098 / 96800 ti = "17/66098/96800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66098/96800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66098 ÷ 217
    66098 ÷ 131072     		x = 0.504287719726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96800 ÷ 217
    96800 ÷ 131072     		y = 0.738525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504287719726562 × 2 - 1) × π
    0.008575439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02694054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738525390625 × 2 - 1) × π
    -0.47705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49869922972144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02694054} λ = 0.02694054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49869922972144))-π/2
    2×atan(0.223420590079363)-π/2
    2×0.21981062972599-π/2
    0.439621259451981-1.57079632675     		φ = -1.13117507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02694054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.543579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13117507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.811557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66098 KachelY 96800 0.02694054 -1.13117507 1.543579 -64.811557
    Oben rechts KachelX + 1 66099 KachelY 96800 0.02698847 -1.13117507 1.546325 -64.811557
    Unten links KachelX 66098 KachelY + 1 96801 0.02694054 -1.13119547 1.543579 -64.812726
    Unten rechts KachelX + 1 66099 KachelY + 1 96801 0.02698847 -1.13119547 1.546325 -64.812726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13117507--1.13119547) × R
    2.03999999999205e-05 × 6371000     		dl = 129.968399999493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13117507--1.13119547) × R
    2.03999999999205e-05 × 6371000     		dr = 129.968399999493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02694054-0.02698847) × cos(-1.13117507) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.425596765979697 × 6371000     		do = 129.961092421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02694054-0.02698847) × cos(-1.13119547) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.425578305667572 × 6371000     		du = 129.955455342615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13117507)-sin(-1.13119547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425596765979697-0.425578305667572)×R²
    abs(0.02698847-0.02694054)×1.84603121248794e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.84603121248794e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.84603121248794e-05×40589641000000     		ar = 16890.4689235792m²