Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66097 / 76028
↖ ↑ ↗
← S 27.673799°
E  1.540832°		 ← 270.49 m → S 27.673799°
E  1.543579°		 →
↑
270.45 m
↓
↑
270.45 m
↓
S 27.676231°
E  1.540832°		 ← 270.48 m →
73 152 m²		 S 27.676231°
E  1.543579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504283905029297 y=0.580051422119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504283905029297 × 217)
    floor (0.504283905029297 × 131072)
    floor (66097.5)     		tx = 66097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580051422119141 × 217)
    floor (0.580051422119141 × 131072)
    floor (76028.5)     		ty = 76028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66097 / 76028 ti = "17/66097/76028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66097/76028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66097 ÷ 217
    66097 ÷ 131072     		x = 0.504280090332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76028 ÷ 217
    76028 ÷ 131072     		y = 0.580047607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504280090332031 × 2 - 1) × π
    0.0085601806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02689260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580047607421875 × 2 - 1) × π
    -0.16009521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.502953950813629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02689260} λ = 0.02689260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.502953950813629))-π/2
    2×atan(0.604741641613507)-π/2
    2×0.543898709229367-π/2
    1.08779741845873-1.57079632675     		φ = -0.48299891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02689260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.540832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48299891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.673799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66097 KachelY 76028 0.02689260 -0.48299891 1.540832 -27.673799
    Oben rechts KachelX + 1 66098 KachelY 76028 0.02694054 -0.48299891 1.543579 -27.673799
    Unten links KachelX 66097 KachelY + 1 76029 0.02689260 -0.48304136 1.540832 -27.676231
    Unten rechts KachelX + 1 66098 KachelY + 1 76029 0.02694054 -0.48304136 1.543579 -27.676231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48299891--0.48304136) × R
    4.24499999999717e-05 × 6371000     		dl = 270.44894999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48299891--0.48304136) × R
    4.24499999999717e-05 × 6371000     		dr = 270.44894999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02689260-0.02694054) × cos(-0.48299891) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.885606102093485 × 6371000     		do = 270.486899080417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02689260-0.02694054) × cos(-0.48304136) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.885586385940112 × 6371000     		du = 270.480877259683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48299891)-sin(-0.48304136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885606102093485-0.885586385940112)×R²
    abs(0.02694054-0.02689260)×1.97161533732615e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.97161533732615e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.97161533732615e-05×40589641000000     		ar = 73152.0835583741m²