Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66095 / 76026
↖ ↑ ↗
← S 27.668934°
E  1.535340°		 ← 270.44 m → S 27.668934°
E  1.538086°		 →
↑
270.45 m
↓
↑
270.45 m
↓
S 27.671366°
E  1.535340°		 ← 270.44 m →
73 140 m²		 S 27.671366°
E  1.538086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504268646240234 y=0.580036163330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504268646240234 × 217)
    floor (0.504268646240234 × 131072)
    floor (66095.5)     		tx = 66095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580036163330078 × 217)
    floor (0.580036163330078 × 131072)
    floor (76026.5)     		ty = 76026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66095 / 76026 ti = "17/66095/76026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66095/76026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66095 ÷ 217
    66095 ÷ 131072     		x = 0.504264831542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76026 ÷ 217
    76026 ÷ 131072     		y = 0.580032348632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504264831542969 × 2 - 1) × π
    0.0085296630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02679673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580032348632812 × 2 - 1) × π
    -0.160064697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.502858077014389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02679673} λ = 0.02679673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.502858077014389))-π/2
    2×atan(0.604799623271664)-π/2
    2×0.543941163385351-π/2
    1.0878823267707-1.57079632675     		φ = -0.48291400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02679673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.535340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48291400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.668934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66095 KachelY 76026 0.02679673 -0.48291400 1.535340 -27.668934
    Oben rechts KachelX + 1 66096 KachelY 76026 0.02684466 -0.48291400 1.538086 -27.668934
    Unten links KachelX 66095 KachelY + 1 76027 0.02679673 -0.48295645 1.535340 -27.671366
    Unten rechts KachelX + 1 66096 KachelY + 1 76027 0.02684466 -0.48295645 1.538086 -27.671366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48291400--0.48295645) × R
    4.24499999999717e-05 × 6371000     		dl = 270.44894999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48291400--0.48295645) × R
    4.24499999999717e-05 × 6371000     		dr = 270.44894999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02679673-0.02684466) × cos(-0.48291400) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.885645534256222 × 6371000     		do = 270.442518200904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02679673-0.02684466) × cos(-0.48295645) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.885625821294989 × 6371000     		du = 270.436498611045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48291400)-sin(-0.48295645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885645534256222-0.885625821294989)×R²
    abs(0.02684466-0.02679673)×1.97129612329316e-05×R²
    4.79299999999981e-05×1.97129612329316e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×1.97129612329316e-05×40589641000000     		ar = 73140.0810978111m²