Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66091 / 76039
↖ ↑ ↗
← S 27.700552°
E  1.524353°		 ← 270.42 m → S 27.700552°
E  1.527100°		 →
↑
270.39 m
↓
↑
270.39 m
↓
S 27.702984°
E  1.524353°		 ← 270.41 m →
73 117 m²		 S 27.702984°
E  1.527100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504238128662109 y=0.580135345458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504238128662109 × 217)
    floor (0.504238128662109 × 131072)
    floor (66091.5)     		tx = 66091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580135345458984 × 217)
    floor (0.580135345458984 × 131072)
    floor (76039.5)     		ty = 76039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66091 / 76039 ti = "17/66091/76039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66091/76039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66091 ÷ 217
    66091 ÷ 131072     		x = 0.504234313964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76039 ÷ 217
    76039 ÷ 131072     		y = 0.580131530761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504234313964844 × 2 - 1) × π
    0.0084686279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02660498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580131530761719 × 2 - 1) × π
    -0.160263061523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.50348125670945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02660498} λ = 0.02660498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.50348125670945))-π/2
    2×atan(0.604422841840323)-π/2
    2×0.543665245167035-π/2
    1.08733049033407-1.57079632675     		φ = -0.48346584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02660498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.524353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48346584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.700552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66091 KachelY 76039 0.02660498 -0.48346584 1.524353 -27.700552
    Oben rechts KachelX + 1 66092 KachelY 76039 0.02665292 -0.48346584 1.527100 -27.700552
    Unten links KachelX 66091 KachelY + 1 76040 0.02660498 -0.48350828 1.524353 -27.702984
    Unten rechts KachelX + 1 66092 KachelY + 1 76040 0.02665292 -0.48350828 1.527100 -27.702984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48346584--0.48350828) × R
    4.24400000000325e-05 × 6371000     		dl = 270.385240000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48346584--0.48350828) × R
    4.24400000000325e-05 × 6371000     		dr = 270.385240000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02660498-0.02665292) × cos(-0.48346584) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.885389145938666 × 6371000     		do = 270.420635086284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02660498-0.02665292) × cos(-0.48350828) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.885369416882763 × 6371000     		du = 270.414609324785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48346584)-sin(-0.48350828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885389145938666-0.885369416882763)×R²
    abs(0.02665292-0.02660498)×1.97290559029728e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.97290559029728e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.97290559029728e-05×40589641000000     		ar = 73116.9336913076m²