Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66064 / 37392
↖ ↑ ↗
← N 60.909073°
E  1.450195°		 ← 148.50 m → N 60.909073°
E  1.452942°		 →
↑
148.44 m
↓
↑
148.44 m
↓
N 60.907738°
E  1.450195°		 ← 148.50 m →
22 044 m²		 N 60.907738°
E  1.452942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504032135009766 y=0.285282135009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504032135009766 × 217)
    floor (0.504032135009766 × 131072)
    floor (66064.5)     		tx = 66064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.285282135009766 × 217)
    floor (0.285282135009766 × 131072)
    floor (37392.5)     		ty = 37392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66064 / 37392 ti = "17/66064/37392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66064/37392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66064 ÷ 217
    66064 ÷ 131072     		x = 0.5040283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37392 ÷ 217
    37392 ÷ 131072     		y = 0.2852783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5040283203125 × 2 - 1) × π
    0.008056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02531068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2852783203125 × 2 - 1) × π
    0.429443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.34913610290686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02531068} λ = 0.02531068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34913610290686))-π/2
    2×atan(3.854094551013)-π/2
    2×1.31693009994833-π/2
    2.63386019989667-1.57079632675     		φ = 1.06306387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02531068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.450195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06306387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.909073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66064 KachelY 37392 0.02531068 1.06306387 1.450195 60.909073
    Oben rechts KachelX + 1 66065 KachelY 37392 0.02535862 1.06306387 1.452942 60.909073
    Unten links KachelX 66064 KachelY + 1 37393 0.02531068 1.06304057 1.450195 60.907738
    Unten rechts KachelX + 1 66065 KachelY + 1 37393 0.02535862 1.06304057 1.452942 60.907738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06306387-1.06304057) × R
    2.32999999998373e-05 × 6371000     		dl = 148.444299998964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06306387-1.06304057) × R
    2.32999999998373e-05 × 6371000     		dr = 148.444299998964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02531068-0.02535862) × cos(1.06306387) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.486197007658037 × 6371000     		do = 148.497080849741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02531068-0.02535862) × cos(1.06304057) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.486217368213025 × 6371000     		du = 148.503299487315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06306387)-sin(1.06304057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.486197007658037-0.486217368213025)×R²
    abs(0.02535862-0.02531068)×2.0360554987553e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.0360554987553e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.0360554987553e-05×40589641000000     		ar = 22044.006780262m²