Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6604 / 3286
↖ ↑ ↗
← N 33.504759°
E110.214844°		 ← 4 074.55 m → N 33.504759°
E110.258789°		 →
↑
4 075.40 m
↓
↑
4 075.40 m
↓
N 33.468108°
E110.214844°		 ← 4 076.28 m →
16 608 955 m²		 N 33.468108°
E110.258789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80621337890625 y=0.40118408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80621337890625 × 213)
    floor (0.80621337890625 × 8192)
    floor (6604.5)     		tx = 6604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40118408203125 × 213)
    floor (0.40118408203125 × 8192)
    floor (3286.5)     		ty = 3286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6604 / 3286 ti = "13/6604/3286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6604/3286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6604 ÷ 213
    6604 ÷ 8192     		x = 0.80615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3286 ÷ 213
    3286 ÷ 8192     		y = 0.401123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80615234375 × 2 - 1) × π
    0.6123046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.92361191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.401123046875 × 2 - 1) × π
    0.19775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.621262219075928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92361191} λ = 1.92361191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.621262219075928))-π/2
    2×atan(1.86127589772406)-π/2
    2×1.07778234381276-π/2
    2.15556468762552-1.57079632675     		φ = 0.58476836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92361191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.214844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58476836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.504759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6604 KachelY 3286 1.92361191 0.58476836 110.214844 33.504759
    Oben rechts KachelX + 1 6605 KachelY 3286 1.92437890 0.58476836 110.258789 33.504759
    Unten links KachelX 6604 KachelY + 1 3287 1.92361191 0.58412868 110.214844 33.468108
    Unten rechts KachelX + 1 6605 KachelY + 1 3287 1.92437890 0.58412868 110.258789 33.468108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58476836-0.58412868) × R
    0.000639680000000031 × 6371000     		dl = 4075.4012800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58476836-0.58412868) × R
    0.000639680000000031 × 6371000     		dr = 4075.4012800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92361191-1.92437890) × cos(0.58476836) × R
    0.000766990000000023 × 0.833839974983535 × 6371000     		do = 4074.55344269093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92361191-1.92437890) × cos(0.58412868) × R
    0.000766990000000023 × 0.834192911715489 × 6371000     		du = 4076.27806566342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58476836)-sin(0.58412868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833839974983535-0.834192911715489)×R²
    abs(1.92437890-1.92361191)×0.000352936731954245×R²
    0.000766990000000023×0.000352936731954245×6371000²
    0.000766990000000023×0.000352936731954245×40589641000000     		ar = 16608955.1474599m²