Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6604 / 3285
↖ ↑ ↗
← N 33.541395°
E110.214844°		 ← 4 072.83 m → N 33.541395°
E110.258789°		 →
↑
4 073.68 m
↓
↑
4 073.68 m
↓
N 33.504759°
E110.214844°		 ← 4 074.55 m →
16 594 917 m²		 N 33.504759°
E110.258789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80621337890625 y=0.40106201171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80621337890625 × 213)
    floor (0.80621337890625 × 8192)
    floor (6604.5)     		tx = 6604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40106201171875 × 213)
    floor (0.40106201171875 × 8192)
    floor (3285.5)     		ty = 3285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6604 / 3285 ti = "13/6604/3285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6604/3285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6604 ÷ 213
    6604 ÷ 8192     		x = 0.80615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3285 ÷ 213
    3285 ÷ 8192     		y = 0.4010009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80615234375 × 2 - 1) × π
    0.6123046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.92361191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4010009765625 × 2 - 1) × π
    0.197998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.622029209469849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92361191} λ = 1.92361191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.622029209469849))-π/2
    2×atan(1.8627040260684)-π/2
    2×1.07810204973235-π/2
    2.1562040994647-1.57079632675     		φ = 0.58540777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92361191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.214844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58540777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.541395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6604 KachelY 3285 1.92361191 0.58540777 110.214844 33.541395
    Oben rechts KachelX + 1 6605 KachelY 3285 1.92437890 0.58540777 110.258789 33.541395
    Unten links KachelX 6604 KachelY + 1 3286 1.92361191 0.58476836 110.214844 33.504759
    Unten rechts KachelX + 1 6605 KachelY + 1 3286 1.92437890 0.58476836 110.258789 33.504759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58540777-0.58476836) × R
    0.000639410000000007 × 6371000     		dl = 4073.68111000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58540777-0.58476836) × R
    0.000639410000000007 × 6371000     		dr = 4073.68111000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92361191-1.92437890) × cos(0.58540777) × R
    0.000766990000000023 × 0.833486846237835 × 6371000     		do = 4072.82788144456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92361191-1.92437890) × cos(0.58476836) × R
    0.000766990000000023 × 0.833839974983535 × 6371000     		du = 4074.55344269093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58540777)-sin(0.58476836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833486846237835-0.833839974983535)×R²
    abs(1.92437890-1.92361191)×0.000353128745699705×R²
    0.000766990000000023×0.000353128745699705×6371000²
    0.000766990000000023×0.000353128745699705×40589641000000     		ar = 16594917.2634428m²