Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66031 / 35759
↖ ↑ ↗
← N 63.016352°
E  1.359558°		 ← 138.55 m → N 63.016352°
E  1.362305°		 →
↑
138.57 m
↓
↑
138.57 m
↓
N 63.015106°
E  1.359558°		 ← 138.56 m →
19 200 m²		 N 63.015106°
E  1.362305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503780364990234 y=0.272823333740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503780364990234 × 217)
    floor (0.503780364990234 × 131072)
    floor (66031.5)     		tx = 66031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272823333740234 × 217)
    floor (0.272823333740234 × 131072)
    floor (35759.5)     		ty = 35759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66031 / 35759 ti = "17/66031/35759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66031/35759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66031 ÷ 217
    66031 ÷ 131072     		x = 0.503776550292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35759 ÷ 217
    35759 ÷ 131072     		y = 0.272819519042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503776550292969 × 2 - 1) × π
    0.0075531005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02372877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272819519042969 × 2 - 1) × π
    0.454360961914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.42741705998641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02372877} λ = 0.02372877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42741705998641))-π/2
    2×atan(4.16791978984313)-π/2
    2×1.33531957543759-π/2
    2.67063915087519-1.57079632675     		φ = 1.09984282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02372877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.359558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09984282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.016352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66031 KachelY 35759 0.02372877 1.09984282 1.359558 63.016352
    Oben rechts KachelX + 1 66032 KachelY 35759 0.02377670 1.09984282 1.362305 63.016352
    Unten links KachelX 66031 KachelY + 1 35760 0.02372877 1.09982107 1.359558 63.015106
    Unten rechts KachelX + 1 66032 KachelY + 1 35760 0.02377670 1.09982107 1.362305 63.015106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09984282-1.09982107) × R
    2.17500000001536e-05 × 6371000     		dl = 138.569250000979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09984282-1.09982107) × R
    2.17500000001536e-05 × 6371000     		dr = 138.569250000979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02372877-0.02377670) × cos(1.09984282) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.453736195794684 × 6371000     		do = 138.553805832347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02372877-0.02377670) × cos(1.09982107) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.453755577896508 × 6371000     		du = 138.559724390305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09984282)-sin(1.09982107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453736195794684-0.453755577896508)×R²
    abs(0.02377670-0.02372877)×1.93821018245055e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.93821018245055e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.93821018245055e-05×40589641000000     		ar = 19199.7070247743m²