Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66030 / 65047
↖ ↑ ↗
← N  1.342956°
E  1.356812°		 ← 305.34 m → N  1.342956°
E  1.359558°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  1.340210°
E  1.356812°		 ← 305.34 m →
93 240 m²		 N  1.340210°
E  1.359558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503772735595703 y=0.496273040771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503772735595703 × 217)
    floor (0.503772735595703 × 131072)
    floor (66030.5)     		tx = 66030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.496273040771484 × 217)
    floor (0.496273040771484 × 131072)
    floor (65047.5)     		ty = 65047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66030 / 65047 ti = "17/66030/65047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66030/65047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66030 ÷ 217
    66030 ÷ 131072     		x = 0.503768920898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65047 ÷ 217
    65047 ÷ 131072     		y = 0.496269226074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503768920898438 × 2 - 1) × π
    0.007537841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02368083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.496269226074219 × 2 - 1) × π
    0.0074615478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0234411439142075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02368083} λ = 0.02368083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0234411439142075))-π/2
    2×atan(1.0237180469363)-π/2
    2×0.797117662117882-π/2
    1.59423532423576-1.57079632675     		φ = 0.02343900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02368083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.356812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02343900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.342956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66030 KachelY 65047 0.02368083 0.02343900 1.356812 1.342956
    Oben rechts KachelX + 1 66031 KachelY 65047 0.02372877 0.02343900 1.359558 1.342956
    Unten links KachelX 66030 KachelY + 1 65048 0.02368083 0.02339107 1.356812 1.340210
    Unten rechts KachelX + 1 66031 KachelY + 1 65048 0.02372877 0.02339107 1.359558 1.340210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02343900-0.02339107) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02343900-0.02339107) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02368083-0.02372877) × cos(0.02343900) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999725319215343 × 6371000     		do = 305.341845418081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02368083-0.02372877) × cos(0.02339107) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999726441395423 × 6371000     		du = 305.342188160762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02343900)-sin(0.02339107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999725319215343-0.999726441395423)×R²
    abs(0.02372877-0.02368083)×1.12218007908282e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.12218007908282e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.12218007908282e-06×40589641000000     		ar = 93239.8581089684m²