Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66020 / 65044
↖ ↑ ↗
← N  1.351193°
E  1.329346°		 ← 305.34 m → N  1.351193°
E  1.332092°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  1.348447°
E  1.329346°		 ← 305.34 m →
93 240 m²		 N  1.348447°
E  1.332092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503696441650391 y=0.496250152587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503696441650391 × 217)
    floor (0.503696441650391 × 131072)
    floor (66020.5)     		tx = 66020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.496250152587891 × 217)
    floor (0.496250152587891 × 131072)
    floor (65044.5)     		ty = 65044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66020 / 65044 ti = "17/66020/65044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66020/65044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66020 ÷ 217
    66020 ÷ 131072     		x = 0.503692626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65044 ÷ 217
    65044 ÷ 131072     		y = 0.496246337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503692626953125 × 2 - 1) × π
    0.00738525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02320146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.496246337890625 × 2 - 1) × π
    0.00750732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0235849546130676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02320146} λ = 0.02320146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0235849546130676))-π/2
    2×atan(1.02386527913059)-π/2
    2×0.797189547594907-π/2
    1.59437909518981-1.57079632675     		φ = 0.02358277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02320146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.329346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02358277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.351193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66020 KachelY 65044 0.02320146 0.02358277 1.329346 1.351193
    Oben rechts KachelX + 1 66021 KachelY 65044 0.02324940 0.02358277 1.332092 1.351193
    Unten links KachelX 66020 KachelY + 1 65045 0.02320146 0.02353484 1.329346 1.348447
    Unten rechts KachelX + 1 66021 KachelY + 1 65045 0.02324940 0.02353484 1.332092 1.348447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02358277-0.02353484) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02358277-0.02353484) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02320146-0.02324940) × cos(0.02358277) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999721939366805 × 6371000     		do = 305.34081312534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02320146-0.02324940) × cos(0.02353484) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.99972306843588 × 6371000     		du = 305.341157972098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02358277)-sin(0.02353484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999721939366805-0.99972306843588)×R²
    abs(0.02324940-0.02320146)×1.12906907467902e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.12906907467902e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.12906907467902e-06×40589641000000     		ar = 93239.5432072017m²