Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66015 / 65043
↖ ↑ ↗
← N  1.353939°
E  1.315613°		 ← 305.34 m → N  1.353939°
E  1.318359°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
N  1.351193°
E  1.315613°		 ← 305.34 m →
93 220 m²		 N  1.351193°
E  1.318359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503658294677734 y=0.496242523193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503658294677734 × 217)
    floor (0.503658294677734 × 131072)
    floor (66015.5)     		tx = 66015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.496242523193359 × 217)
    floor (0.496242523193359 × 131072)
    floor (65043.5)     		ty = 65043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66015 / 65043 ti = "17/66015/65043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66015/65043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66015 ÷ 217
    66015 ÷ 131072     		x = 0.503654479980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65043 ÷ 217
    65043 ÷ 131072     		y = 0.496238708496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503654479980469 × 2 - 1) × π
    0.0073089599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02296177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.496238708496094 × 2 - 1) × π
    0.0075225830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0236328915126877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02296177} λ = 0.02296177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0236328915126877))-π/2
    2×atan(1.02391436123411)-π/2
    2×0.797213509366483-π/2
    1.59442701873297-1.57079632675     		φ = 0.02363069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02296177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.315613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02363069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.353939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66015 KachelY 65043 0.02296177 0.02363069 1.315613 1.353939
    Oben rechts KachelX + 1 66016 KachelY 65043 0.02300971 0.02363069 1.318359 1.353939
    Unten links KachelX 66015 KachelY + 1 65044 0.02296177 0.02358277 1.315613 1.351193
    Unten rechts KachelX + 1 66016 KachelY + 1 65044 0.02300971 0.02358277 1.318359 1.351193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02363069-0.02358277) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02363069-0.02358277) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02296177-0.02300971) × cos(0.02363069) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999720808237369 × 6371000     		do = 305.340467649295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02296177-0.02300971) × cos(0.02358277) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999721939366805 × 6371000     		du = 305.34081312534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02363069)-sin(0.02358277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999720808237369-0.999721939366805)×R²
    abs(0.02300971-0.02296177)×1.13112943578297e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.13112943578297e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.13112943578297e-06×40589641000000     		ar = 93219.9845558094m²