Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66000 / 66224
↖ ↑ ↗
← S  1.889306°
E  1.274414°		 ← 305.26 m → S  1.889306°
E  1.277161°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  1.892051°
E  1.274414°		 ← 305.26 m →
93 176 m²		 S  1.892051°
E  1.277161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503543853759766 y=0.505252838134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503543853759766 × 217)
    floor (0.503543853759766 × 131072)
    floor (66000.5)     		tx = 66000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505252838134766 × 217)
    floor (0.505252838134766 × 131072)
    floor (66224.5)     		ty = 66224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66000 / 66224 ti = "17/66000/66224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66000/66224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66000 ÷ 217
    66000 ÷ 131072     		x = 0.5035400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66224 ÷ 217
    66224 ÷ 131072     		y = 0.5052490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5035400390625 × 2 - 1) × π
    0.007080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02224272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5052490234375 × 2 - 1) × π
    -0.010498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0329805869385986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02224272} λ = 0.02224272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0329805869385986))-π/2
    2×atan(0.967557342656815)-π/2
    2×0.768910858583383-π/2
    1.53782171716677-1.57079632675     		φ = -0.03297461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02224272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.274414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03297461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.889306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66000 KachelY 66224 0.02224272 -0.03297461 1.274414 -1.889306
    Oben rechts KachelX + 1 66001 KachelY 66224 0.02229066 -0.03297461 1.277161 -1.889306
    Unten links KachelX 66000 KachelY + 1 66225 0.02224272 -0.03302252 1.274414 -1.892051
    Unten rechts KachelX + 1 66001 KachelY + 1 66225 0.02229066 -0.03302252 1.277161 -1.892051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03297461--0.03302252) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dl = 305.234609999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03297461--0.03302252) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dr = 305.234609999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02224272-0.02229066) × cos(-0.03297461) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999456386807366 × 6371000     		do = 305.259706538365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02224272-0.02229066) × cos(-0.03302252) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.99945480613302 × 6371000     		du = 305.259223759733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03297461)-sin(-0.03302252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999456386807366-0.99945480613302)×R²
    abs(0.02229066-0.02224272)×1.58067434519182e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.58067434519182e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.58067434519182e-06×40589641000000     		ar = 93175.7538113932m²