Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6600 / 6070
↖ ↑ ↗
← S 65.183030°
E110.039063°		 ← 2 050.96 m → S 65.183030°
E110.083008°		 →
↑
2 050.25 m
↓
↑
2 050.25 m
↓
S 65.201468°
E110.039063°		 ← 2 049.54 m →
4 203 528 m²		 S 65.201468°
E110.083008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80572509765625 y=0.74102783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80572509765625 × 213)
    floor (0.80572509765625 × 8192)
    floor (6600.5)     		tx = 6600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74102783203125 × 213)
    floor (0.74102783203125 × 8192)
    floor (6070.5)     		ty = 6070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6600 / 6070 ti = "13/6600/6070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6600/6070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6600 ÷ 213
    6600 ÷ 8192     		x = 0.8056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6070 ÷ 213
    6070 ÷ 8192     		y = 0.740966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8056640625 × 2 - 1) × π
    0.611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92054395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740966796875 × 2 - 1) × π
    -0.48193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51403903759985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92054395} λ = 1.92054395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51403903759985))-π/2
    2×atan(0.220019513771957)-π/2
    2×0.216568917807117-π/2
    0.433137835614234-1.57079632675     		φ = -1.13765849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92054395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13765849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.183030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6600 KachelY 6070 1.92054395 -1.13765849 110.039063 -65.183030
    Oben rechts KachelX + 1 6601 KachelY 6070 1.92131094 -1.13765849 110.083008 -65.183030
    Unten links KachelX 6600 KachelY + 1 6071 1.92054395 -1.13798030 110.039063 -65.201468
    Unten rechts KachelX + 1 6601 KachelY + 1 6071 1.92131094 -1.13798030 110.083008 -65.201468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13765849--1.13798030) × R
    0.000321809999999978 × 6371000     		dl = 2050.25150999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13765849--1.13798030) × R
    0.000321809999999978 × 6371000     		dr = 2050.25150999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92054395-1.92131094) × cos(-1.13765849) × R
    0.000766989999999801 × 0.419720931666003 × 6371000     		do = 2050.96351625794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92054395-1.92131094) × cos(-1.13798030) × R
    0.000766989999999801 × 0.419428818059824 × 6371000     		du = 2049.53610508143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13765849)-sin(-1.13798030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419720931666003-0.419428818059824)×R²
    abs(1.92131094-1.92054395)×0.00029211360617909×R²
    0.000766989999999801×0.00029211360617909×6371000²
    0.000766989999999801×0.00029211360617909×40589641000000     		ar = 4203527.80647773m²