Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6600 / 1414
↖ ↑ ↗
← N 81.498805°
W 34.980469°		 ← 361.18 m → N 81.498805°
W 34.958496°		 →
↑
361.24 m
↓
↑
361.24 m
↓
N 81.495556°
W 34.980469°		 ← 361.32 m →
130 496 m²		 N 81.495556°
W 34.958496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402862548828125 y=0.086334228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402862548828125 × 214)
    floor (0.402862548828125 × 16384)
    floor (6600.5)     		tx = 6600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.086334228515625 × 214)
    floor (0.086334228515625 × 16384)
    floor (1414.5)     		ty = 1414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6600 / 1414 ti = "14/6600/1414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6600/1414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6600 ÷ 214
    6600 ÷ 16384     		x = 0.40283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1414 ÷ 214
    1414 ÷ 16384     		y = 0.0863037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40283203125 × 2 - 1) × π
    -0.1943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61052435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0863037109375 × 2 - 1) × π
    0.827392578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.59933044499792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61052435} λ = -0.61052435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59933044499792))-π/2
    2×atan(13.4547263391034)-π/2
    2×1.49660940282481-π/2
    2.99321880564962-1.57079632675     		φ = 1.42242248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61052435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.980469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42242248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.498805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6600 KachelY 1414 -0.61052435 1.42242248 -34.980469 81.498805
    Oben rechts KachelX + 1 6601 KachelY 1414 -0.61014086 1.42242248 -34.958496 81.498805
    Unten links KachelX 6600 KachelY + 1 1415 -0.61052435 1.42236578 -34.980469 81.495556
    Unten rechts KachelX + 1 6601 KachelY + 1 1415 -0.61014086 1.42236578 -34.958496 81.495556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42242248-1.42236578) × R
    5.67000000000206e-05 × 6371000     		dl = 361.235700000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42242248-1.42236578) × R
    5.67000000000206e-05 × 6371000     		dr = 361.235700000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61052435--0.61014086) × cos(1.42242248) × R
    0.000383490000000042 × 0.147830042339614 × 6371000     		do = 361.180545850511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61052435--0.61014086) × cos(1.42236578) × R
    0.000383490000000042 × 0.147886119126569 × 6371000     		du = 361.317553485776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42242248)-sin(1.42236578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147830042339614-0.147886119126569)×R²
    abs(-0.61014086--0.61052435)×5.60767869552115e-05×R²
    0.000383490000000042×5.60767869552115e-05×6371000²
    0.000383490000000042×5.60767869552115e-05×40589641000000     		ar = 130496.053365671m²