Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6600 / 12760
↖ ↑ ↗
← S 70.318738°
W 34.980469°		 ← 822.84 m → S 70.318738°
W 34.958496°		 →
↑
822.75 m
↓
↑
822.75 m
↓
S 70.326138°
W 34.980469°		 ← 822.55 m →
676 873 m²		 S 70.326138°
W 34.958496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402862548828125 y=0.778839111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402862548828125 × 214)
    floor (0.402862548828125 × 16384)
    floor (6600.5)     		tx = 6600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778839111328125 × 214)
    floor (0.778839111328125 × 16384)
    floor (12760.5)     		ty = 12760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6600 / 12760 ti = "14/6600/12760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6600/12760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6600 ÷ 214
    6600 ÷ 16384     		x = 0.40283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12760 ÷ 214
    12760 ÷ 16384     		y = 0.77880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40283203125 × 2 - 1) × π
    -0.1943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61052435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77880859375 × 2 - 1) × π
    -0.5576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75180605971533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61052435} λ = -0.61052435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75180605971533))-π/2
    2×atan(0.173460380573478)-π/2
    2×0.171751407256281-π/2
    0.343502814512562-1.57079632675     		φ = -1.22729351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61052435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.980469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22729351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.318738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6600 KachelY 12760 -0.61052435 -1.22729351 -34.980469 -70.318738
    Oben rechts KachelX + 1 6601 KachelY 12760 -0.61014086 -1.22729351 -34.958496 -70.318738
    Unten links KachelX 6600 KachelY + 1 12761 -0.61052435 -1.22742265 -34.980469 -70.326138
    Unten rechts KachelX + 1 6601 KachelY + 1 12761 -0.61014086 -1.22742265 -34.958496 -70.326138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22729351--1.22742265) × R
    0.000129140000000083 × 6371000     		dl = 822.750940000529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22729351--1.22742265) × R
    0.000129140000000083 × 6371000     		dr = 822.750940000529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61052435--0.61014086) × cos(-1.22729351) × R
    0.000383490000000042 × 0.336787336368205 × 6371000     		do = 822.843801299594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61052435--0.61014086) × cos(-1.22742265) × R
    0.000383490000000042 × 0.336665737823446 × 6371000     		du = 822.546709936596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22729351)-sin(-1.22742265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336787336368205-0.336665737823446)×R²
    abs(-0.61014086--0.61052435)×0.00012159854475885×R²
    0.000383490000000042×0.00012159854475885×6371000²
    0.000383490000000042×0.00012159854475885×40589641000000     		ar = 676873.295834282m²