Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65984 / 75585
↖ ↑ ↗
← S 26.590983°
E  1.230469°		 ← 273.12 m → S 26.590983°
E  1.233215°		 →
↑
273.06 m
↓
↑
273.06 m
↓
S 26.593439°
E  1.230469°		 ← 273.11 m →
74 577 m²		 S 26.593439°
E  1.233215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503421783447266 y=0.576671600341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503421783447266 × 217)
    floor (0.503421783447266 × 131072)
    floor (65984.5)     		tx = 65984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576671600341797 × 217)
    floor (0.576671600341797 × 131072)
    floor (75585.5)     		ty = 75585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65984 / 75585 ti = "17/65984/75585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65984/75585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65984 ÷ 217
    65984 ÷ 131072     		x = 0.50341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75585 ÷ 217
    75585 ÷ 131072     		y = 0.576667785644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50341796875 × 2 - 1) × π
    0.0068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02147573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576667785644531 × 2 - 1) × π
    -0.153335571289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.481717904281944
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02147573} λ = 0.02147573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.481717904281944))-π/2
    2×atan(0.617721293720391)-π/2
    2×0.553348059005827-π/2
    1.10669611801165-1.57079632675     		φ = -0.46410021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02147573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.230469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46410021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.590983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65984 KachelY 75585 0.02147573 -0.46410021 1.230469 -26.590983
    Oben rechts KachelX + 1 65985 KachelY 75585 0.02152367 -0.46410021 1.233215 -26.590983
    Unten links KachelX 65984 KachelY + 1 75586 0.02147573 -0.46414307 1.230469 -26.593439
    Unten rechts KachelX + 1 65985 KachelY + 1 75586 0.02152367 -0.46414307 1.233215 -26.593439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46410021--0.46414307) × R
    4.28599999999779e-05 × 6371000     		dl = 273.061059999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46410021--0.46414307) × R
    4.28599999999779e-05 × 6371000     		dr = 273.061059999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02147573-0.02152367) × cos(-0.46410021) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.894224690075991 × 6371000     		do = 273.119237692749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02147573-0.02152367) × cos(-0.46414307) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.894205504331394 × 6371000     		du = 273.113377872508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46410021)-sin(-0.46414307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894224690075991-0.894205504331394)×R²
    abs(0.02152367-0.02147573)×1.91857445965837e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.91857445965837e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.91857445965837e-05×40589641000000     		ar = 74577.4285177984m²