Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65978 / 66226
↖ ↑ ↗
← S  1.894796°
E  1.213989°		 ← 305.26 m → S  1.894796°
E  1.216736°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  1.897541°
E  1.213989°		 ← 305.26 m →
93 175 m²		 S  1.897541°
E  1.216736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503376007080078 y=0.505268096923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503376007080078 × 217)
    floor (0.503376007080078 × 131072)
    floor (65978.5)     		tx = 65978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505268096923828 × 217)
    floor (0.505268096923828 × 131072)
    floor (66226.5)     		ty = 66226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65978 / 66226 ti = "17/65978/66226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65978/66226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65978 ÷ 217
    65978 ÷ 131072     		x = 0.503372192382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66226 ÷ 217
    66226 ÷ 131072     		y = 0.505264282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503372192382812 × 2 - 1) × π
    0.006744384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02118811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505264282226562 × 2 - 1) × π
    -0.010528564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0330764607378387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02118811} λ = 0.02118811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0330764607378387))-π/2
    2×atan(0.96746458370504)-π/2
    2×0.768862947818686-π/2
    1.53772589563737-1.57079632675     		φ = -0.03307043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02118811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.213989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03307043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.894796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65978 KachelY 66226 0.02118811 -0.03307043 1.213989 -1.894796
    Oben rechts KachelX + 1 65979 KachelY 66226 0.02123605 -0.03307043 1.216736 -1.894796
    Unten links KachelX 65978 KachelY + 1 66227 0.02118811 -0.03311834 1.213989 -1.897541
    Unten rechts KachelX + 1 65979 KachelY + 1 66227 0.02123605 -0.03311834 1.216736 -1.897541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03307043--0.03311834) × R
    4.79100000000052e-05 × 6371000     		dl = 305.234610000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03307043--0.03311834) × R
    4.79100000000052e-05 × 6371000     		dr = 305.234610000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02118811-0.02123605) × cos(-0.03307043) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999453223164559 × 6371000     		do = 305.258740280419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02118811-0.02123605) × cos(-0.03311834) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999451637901984 × 6371000     		du = 305.258256100424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03307043)-sin(-0.03311834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999453223164559-0.999451637901984)×R²
    abs(0.02123605-0.02118811)×1.58526257476588e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.58526257476588e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.58526257476588e-06×40589641000000     		ar = 93175.4586621699m²