Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65978 / 66218
↖ ↑ ↗
← S  1.872835°
E  1.213989°		 ← 305.26 m → S  1.872835°
E  1.216736°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  1.875580°
E  1.213989°		 ← 305.26 m →
93 177 m²		 S  1.875580°
E  1.216736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503376007080078 y=0.505207061767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503376007080078 × 217)
    floor (0.503376007080078 × 131072)
    floor (65978.5)     		tx = 65978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505207061767578 × 217)
    floor (0.505207061767578 × 131072)
    floor (66218.5)     		ty = 66218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65978 / 66218 ti = "17/65978/66218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65978/66218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65978 ÷ 217
    65978 ÷ 131072     		x = 0.503372192382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66218 ÷ 217
    66218 ÷ 131072     		y = 0.505203247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503372192382812 × 2 - 1) × π
    0.006744384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02118811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505203247070312 × 2 - 1) × π
    -0.010406494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0326929655408783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02118811} λ = 0.02118811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0326929655408783))-π/2
    2×atan(0.96783567287703)-π/2
    2×0.769054591784345-π/2
    1.53810918356869-1.57079632675     		φ = -0.03268714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02118811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.213989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03268714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.872835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65978 KachelY 66218 0.02118811 -0.03268714 1.213989 -1.872835
    Oben rechts KachelX + 1 65979 KachelY 66218 0.02123605 -0.03268714 1.216736 -1.872835
    Unten links KachelX 65978 KachelY + 1 66219 0.02118811 -0.03273505 1.213989 -1.875580
    Unten rechts KachelX + 1 65979 KachelY + 1 66219 0.02123605 -0.03273505 1.216736 -1.875580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03268714--0.03273505) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dl = 305.234609999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03268714--0.03273505) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dr = 305.234609999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02118811-0.02123605) × cos(-0.03268714) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999465823003596 × 6371000     		do = 305.262588595581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02118811-0.02123605) × cos(-0.03273505) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999464256094506 × 6371000     		du = 305.262110021213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03268714)-sin(-0.03273505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999465823003596-0.999464256094506)×R²
    abs(0.02123605-0.02118811)×1.56690909025592e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.56690909025592e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.56690909025592e-06×40589641000000     		ar = 93176.6341566482m²