Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65977 / 66217
↖ ↑ ↗
← S  1.870090°
E  1.211243°		 ← 305.26 m → S  1.870090°
E  1.213989°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  1.872835°
E  1.211243°		 ← 305.26 m →
93 177 m²		 S  1.872835°
E  1.213989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503368377685547 y=0.505199432373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503368377685547 × 217)
    floor (0.503368377685547 × 131072)
    floor (65977.5)     		tx = 65977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505199432373047 × 217)
    floor (0.505199432373047 × 131072)
    floor (66217.5)     		ty = 66217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65977 / 66217 ti = "17/65977/66217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65977/66217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65977 ÷ 217
    65977 ÷ 131072     		x = 0.503364562988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66217 ÷ 217
    66217 ÷ 131072     		y = 0.505195617675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503364562988281 × 2 - 1) × π
    0.0067291259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02114017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505195617675781 × 2 - 1) × π
    -0.0103912353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0326450286412582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02114017} λ = 0.02114017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0326450286412582))-π/2
    2×atan(0.967882069030564)-π/2
    2×0.769078547449514-π/2
    1.53815709489903-1.57079632675     		φ = -0.03263923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02114017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.211243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03263923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.870090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65977 KachelY 66217 0.02114017 -0.03263923 1.211243 -1.870090
    Oben rechts KachelX + 1 65978 KachelY 66217 0.02118811 -0.03263923 1.213989 -1.870090
    Unten links KachelX 65977 KachelY + 1 66218 0.02114017 -0.03268714 1.211243 -1.872835
    Unten rechts KachelX + 1 65978 KachelY + 1 66218 0.02118811 -0.03268714 1.213989 -1.872835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03263923--0.03268714) × R
    4.79100000000052e-05 × 6371000     		dl = 305.234610000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03263923--0.03268714) × R
    4.79100000000052e-05 × 6371000     		dr = 305.234610000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02114017-0.02118811) × cos(-0.03263923) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999467387618545 × 6371000     		do = 305.263066469259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02114017-0.02118811) × cos(-0.03268714) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999465823003596 × 6371000     		du = 305.262588595581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03263923)-sin(-0.03268714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999467387618545-0.999465823003596)×R²
    abs(0.02118811-0.02114017)×1.56461494815741e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.56461494815741e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.56461494815741e-06×40589641000000     		ar = 93176.7801271889m²