Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65973 / 66220
↖ ↑ ↗
← S  1.878326°
E  1.200257°		 ← 305.20 m → S  1.878326°
E  1.203003°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  1.881071°
E  1.200257°		 ← 305.20 m →
93 157 m²		 S  1.881071°
E  1.203003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503337860107422 y=0.505222320556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503337860107422 × 217)
    floor (0.503337860107422 × 131072)
    floor (65973.5)     		tx = 65973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505222320556641 × 217)
    floor (0.505222320556641 × 131072)
    floor (66220.5)     		ty = 66220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65973 / 66220 ti = "17/65973/66220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65973/66220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65973 ÷ 217
    65973 ÷ 131072     		x = 0.503334045410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66220 ÷ 217
    66220 ÷ 131072     		y = 0.505218505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503334045410156 × 2 - 1) × π
    0.0066680908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02094843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505218505859375 × 2 - 1) × π
    -0.01043701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0327888393401184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02094843} λ = 0.02094843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0327888393401184))-π/2
    2×atan(0.967742887241957)-π/2
    2×0.769006680566652-π/2
    1.5380133611333-1.57079632675     		φ = -0.03278297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02094843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.200257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03278297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.878326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65973 KachelY 66220 0.02094843 -0.03278297 1.200257 -1.878326
    Oben rechts KachelX + 1 65974 KachelY 66220 0.02099636 -0.03278297 1.203003 -1.878326
    Unten links KachelX 65973 KachelY + 1 66221 0.02094843 -0.03283088 1.200257 -1.881071
    Unten rechts KachelX + 1 65974 KachelY + 1 66221 0.02099636 -0.03283088 1.203003 -1.881071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03278297--0.03283088) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dl = 305.234609999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03278297--0.03283088) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dr = 305.234609999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02094843-0.02099636) × cos(-0.03278297) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.999462686563507 × 6371000     		do = 305.197954878274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02094843-0.02099636) × cos(-0.03283088) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.999461115065665 × 6371000     		du = 305.197475002503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03278297)-sin(-0.03283088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999462686563507-0.999461115065665)×R²
    abs(0.02099636-0.02094843)×1.57149784207888e-06×R²
    4.79299999999981e-05×1.57149784207888e-06×6371000²
    4.79299999999981e-05×1.57149784207888e-06×40589641000000     		ar = 93156.905510536m²