Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65972 / 66236
↖ ↑ ↗
← S  1.922246°
E  1.197510°		 ← 305.25 m → S  1.922246°
E  1.200257°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  1.924992°
E  1.197510°		 ← 305.25 m →
93 174 m²		 S  1.924992°
E  1.200257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503330230712891 y=0.505344390869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503330230712891 × 217)
    floor (0.503330230712891 × 131072)
    floor (65972.5)     		tx = 65972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505344390869141 × 217)
    floor (0.505344390869141 × 131072)
    floor (66236.5)     		ty = 66236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65972 / 66236 ti = "17/65972/66236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65972/66236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65972 ÷ 217
    65972 ÷ 131072     		x = 0.503326416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66236 ÷ 217
    66236 ÷ 131072     		y = 0.505340576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503326416015625 × 2 - 1) × π
    0.00665283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02090049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505340576171875 × 2 - 1) × π
    -0.01068115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0335558297340393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02090049} λ = 0.02090049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0335558297340393))-π/2
    2×atan(0.967000922320015)-π/2
    2×0.768623396282147-π/2
    1.53724679256429-1.57079632675     		φ = -0.03354953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02090049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.197510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03354953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.922246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65972 KachelY 66236 0.02090049 -0.03354953 1.197510 -1.922246
    Oben rechts KachelX + 1 65973 KachelY 66236 0.02094843 -0.03354953 1.200257 -1.922246
    Unten links KachelX 65972 KachelY + 1 66237 0.02090049 -0.03359744 1.197510 -1.924992
    Unten rechts KachelX + 1 65973 KachelY + 1 66237 0.02094843 -0.03359744 1.200257 -1.924992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03354953--0.03359744) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dl = 305.234609999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03354953--0.03359744) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dr = 305.234609999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02090049-0.02094843) × cos(-0.03354953) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999437267304325 × 6371000     		do = 305.25386695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02090049-0.02094843) × cos(-0.03359744) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999435659100821 × 6371000     		du = 305.253375763255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03354953)-sin(-0.03359744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999437267304325-0.999435659100821)×R²
    abs(0.02094843-0.02090049)×1.6082035043663e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.6082035043663e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.6082035043663e-06×40589641000000     		ar = 93173.9700837014m²