Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65972 / 35828
↖ ↑ ↗
← N 62.930236°
E  1.197510°		 ← 138.99 m → N 62.930236°
E  1.200257°		 →
↑
138.95 m
↓
↑
138.95 m
↓
N 62.928986°
E  1.197510°		 ← 139 m →
19 314 m²		 N 62.928986°
E  1.200257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503330230712891 y=0.273349761962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503330230712891 × 217)
    floor (0.503330230712891 × 131072)
    floor (65972.5)     		tx = 65972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273349761962891 × 217)
    floor (0.273349761962891 × 131072)
    floor (35828.5)     		ty = 35828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65972 / 35828 ti = "17/65972/35828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65972/35828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65972 ÷ 217
    65972 ÷ 131072     		x = 0.503326416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35828 ÷ 217
    35828 ÷ 131072     		y = 0.273345947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503326416015625 × 2 - 1) × π
    0.00665283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02090049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273345947265625 × 2 - 1) × π
    0.45330810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42410941391263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02090049} λ = 0.02090049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42410941391263))-π/2
    2×atan(4.15415656080772)-π/2
    2×1.33456806934109-π/2
    2.66913613868218-1.57079632675     		φ = 1.09833981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02090049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.197510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09833981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.930236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65972 KachelY 35828 0.02090049 1.09833981 1.197510 62.930236
    Oben rechts KachelX + 1 65973 KachelY 35828 0.02094843 1.09833981 1.200257 62.930236
    Unten links KachelX 65972 KachelY + 1 35829 0.02090049 1.09831800 1.197510 62.928986
    Unten rechts KachelX + 1 65973 KachelY + 1 35829 0.02094843 1.09831800 1.200257 62.928986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09833981-1.09831800) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dl = 138.95151000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09833981-1.09831800) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dr = 138.95151000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02090049-0.02094843) × cos(1.09833981) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.455075069185339 × 6371000     		do = 138.991639761483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02090049-0.02094843) × cos(1.09831800) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.455094489858701 × 6371000     		du = 138.997571335016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09833981)-sin(1.09831800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455075069185339-0.455094489858701)×R²
    abs(0.02094843-0.02090049)×1.94206733622471e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.94206733622471e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.94206733622471e-05×40589641000000     		ar = 19313.5103235436m²