Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65969 / 66227
↖ ↑ ↗
← S  1.897541°
E  1.189270°		 ← 305.19 m → S  1.897541°
E  1.192016°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  1.900286°
E  1.189270°		 ← 305.19 m →
93 156 m²		 S  1.900286°
E  1.192016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503307342529297 y=0.505275726318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503307342529297 × 217)
    floor (0.503307342529297 × 131072)
    floor (65969.5)     		tx = 65969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505275726318359 × 217)
    floor (0.505275726318359 × 131072)
    floor (66227.5)     		ty = 66227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65969 / 66227 ti = "17/65969/66227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65969/66227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65969 ÷ 217
    65969 ÷ 131072     		x = 0.503303527832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66227 ÷ 217
    66227 ÷ 131072     		y = 0.505271911621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503303527832031 × 2 - 1) × π
    0.0066070556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02075668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505271911621094 × 2 - 1) × π
    -0.0105438232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0331243976374588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02075668} λ = 0.02075668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0331243976374588))-π/2
    2×atan(0.967418207563978)-π/2
    2×0.768838992493263-π/2
    1.53767798498653-1.57079632675     		φ = -0.03311834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02075668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.189270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03311834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.897541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65969 KachelY 66227 0.02075668 -0.03311834 1.189270 -1.897541
    Oben rechts KachelX + 1 65970 KachelY 66227 0.02080461 -0.03311834 1.192016 -1.897541
    Unten links KachelX 65969 KachelY + 1 66228 0.02075668 -0.03316625 1.189270 -1.900286
    Unten rechts KachelX + 1 65970 KachelY + 1 66228 0.02080461 -0.03316625 1.192016 -1.900286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03311834--0.03316625) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dl = 305.234609999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03311834--0.03316625) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dr = 305.234609999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02075668-0.02080461) × cos(-0.03311834) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999451637901984 × 6371000     		do = 305.194581036585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02075668-0.02080461) × cos(-0.03316625) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.9994500503453 × 6371000     		du = 305.194096257053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03311834)-sin(-0.03316625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999451637901984-0.9994500503453)×R²
    abs(0.02080461-0.02075668)×1.58755668433486e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.58755668433486e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.58755668433486e-06×40589641000000     		ar = 93155.8749488745m²