Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65967 / 35762
↖ ↑ ↗
← N 63.012613°
E  1.183777°		 ← 138.60 m → N 63.012613°
E  1.186523°		 →
↑
138.63 m
↓
↑
138.63 m
↓
N 63.011366°
E  1.183777°		 ← 138.61 m →
19 215 m²		 N 63.011366°
E  1.186523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503292083740234 y=0.272846221923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503292083740234 × 217)
    floor (0.503292083740234 × 131072)
    floor (65967.5)     		tx = 65967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272846221923828 × 217)
    floor (0.272846221923828 × 131072)
    floor (35762.5)     		ty = 35762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65967 / 35762 ti = "17/65967/35762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65967/35762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65967 ÷ 217
    65967 ÷ 131072     		x = 0.503288269042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35762 ÷ 217
    35762 ÷ 131072     		y = 0.272842407226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503288269042969 × 2 - 1) × π
    0.0065765380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02066080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272842407226562 × 2 - 1) × π
    0.454315185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42727324928755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02066080} λ = 0.02066080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42727324928755))-π/2
    2×atan(4.16732044148274)-π/2
    2×1.33528694728749-π/2
    2.67057389457497-1.57079632675     		φ = 1.09977757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02066080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.183777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09977757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.012613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65967 KachelY 35762 0.02066080 1.09977757 1.183777 63.012613
    Oben rechts KachelX + 1 65968 KachelY 35762 0.02070874 1.09977757 1.186523 63.012613
    Unten links KachelX 65967 KachelY + 1 35763 0.02066080 1.09975581 1.183777 63.011366
    Unten rechts KachelX + 1 65968 KachelY + 1 35763 0.02070874 1.09975581 1.186523 63.011366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09977757-1.09975581) × R
    2.17600000000928e-05 × 6371000     		dl = 138.632960000591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09977757-1.09975581) × R
    2.17600000000928e-05 × 6371000     		dr = 138.632960000591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02066080-0.02070874) × cos(1.09977757) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.453794341456183 × 6371000     		do = 138.600472547067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02066080-0.02070874) × cos(1.09975581) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.453813731824982 × 6371000     		du = 138.606394864806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09977757)-sin(1.09975581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453794341456183-0.453813731824982)×R²
    abs(0.02070874-0.02066080)×1.93903687984998e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.93903687984998e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.93903687984998e-05×40589641000000     		ar = 19215.0042815837m²