Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65966 / 35763
↖ ↑ ↗
← N 63.011366°
E  1.181030°		 ← 138.58 m → N 63.011366°
E  1.183777°		 →
↑
138.57 m
↓
↑
138.57 m
↓
N 63.010120°
E  1.181030°		 ← 138.58 m →
19 203 m²		 N 63.010120°
E  1.183777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503284454345703 y=0.272853851318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503284454345703 × 217)
    floor (0.503284454345703 × 131072)
    floor (65966.5)     		tx = 65966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272853851318359 × 217)
    floor (0.272853851318359 × 131072)
    floor (35763.5)     		ty = 35763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65966 / 35763 ti = "17/65966/35763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65966/35763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65966 ÷ 217
    65966 ÷ 131072     		x = 0.503280639648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35763 ÷ 217
    35763 ÷ 131072     		y = 0.272850036621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503280639648438 × 2 - 1) × π
    0.006561279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02061287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272850036621094 × 2 - 1) × π
    0.454299926757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.42722531238793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02061287} λ = 0.02061287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42722531238793))-π/2
    2×atan(4.16712067784912)-π/2
    2×1.33527607030823-π/2
    2.67055214061646-1.57079632675     		φ = 1.09975581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02061287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.181030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09975581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.011366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65966 KachelY 35763 0.02061287 1.09975581 1.181030 63.011366
    Oben rechts KachelX + 1 65967 KachelY 35763 0.02066080 1.09975581 1.183777 63.011366
    Unten links KachelX 65966 KachelY + 1 35764 0.02061287 1.09973406 1.181030 63.010120
    Unten rechts KachelX + 1 65967 KachelY + 1 35764 0.02066080 1.09973406 1.183777 63.010120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09975581-1.09973406) × R
    2.17499999999315e-05 × 6371000     		dl = 138.569249999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09975581-1.09973406) × R
    2.17499999999315e-05 × 6371000     		dr = 138.569249999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02061287-0.02066080) × cos(1.09975581) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.453813731824982 × 6371000     		do = 138.577482391957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02061287-0.02066080) × cos(1.09973406) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.453833113068033 × 6371000     		du = 138.583400687679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09975581)-sin(1.09973406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453813731824982-0.453833113068033)×R²
    abs(0.02066080-0.02061287)×1.93812430516194e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.93812430516194e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.93812430516194e-05×40589641000000     		ar = 19202.9878495625m²