Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65960 / 32056
↖ ↑ ↗
← N 67.280531°
E  1.164551°		 ← 117.94 m → N 67.280531°
E  1.167297°		 →
↑
117.99 m
↓
↑
117.99 m
↓
N 67.279469°
E  1.164551°		 ← 117.94 m →
13 916 m²		 N 67.279469°
E  1.167297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503238677978516 y=0.244571685791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503238677978516 × 217)
    floor (0.503238677978516 × 131072)
    floor (65960.5)     		tx = 65960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244571685791016 × 217)
    floor (0.244571685791016 × 131072)
    floor (32056.5)     		ty = 32056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65960 / 32056 ti = "17/65960/32056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65960/32056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65960 ÷ 217
    65960 ÷ 131072     		x = 0.50323486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32056 ÷ 217
    32056 ÷ 131072     		y = 0.24456787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50323486328125 × 2 - 1) × π
    0.0064697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02032525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24456787109375 × 2 - 1) × π
    0.5108642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.60492739927948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02032525} λ = 0.02032525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60492739927948))-π/2
    2×atan(4.97749821966437)-π/2
    2×1.3725315527526-π/2
    2.7450631055052-1.57079632675     		φ = 1.17426678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02032525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.164551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17426678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.280531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65960 KachelY 32056 0.02032525 1.17426678 1.164551 67.280531
    Oben rechts KachelX + 1 65961 KachelY 32056 0.02037318 1.17426678 1.167297 67.280531
    Unten links KachelX 65960 KachelY + 1 32057 0.02032525 1.17424826 1.164551 67.279469
    Unten rechts KachelX + 1 65961 KachelY + 1 32057 0.02037318 1.17424826 1.167297 67.279469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17426678-1.17424826) × R
    1.85200000000219e-05 × 6371000     		dl = 117.990920000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17426678-1.17424826) × R
    1.85200000000219e-05 × 6371000     		dr = 117.990920000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02032525-0.02037318) × cos(1.17426678) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.386219504562624 × 6371000     		do = 117.936771938841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02032525-0.02037318) × cos(1.17424826) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.386236587472228 × 6371000     		du = 117.941988410796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17426678)-sin(1.17424826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386219504562624-0.386236587472228)×R²
    abs(0.02037318-0.02032525)×1.70829096037273e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.70829096037273e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.70829096037273e-05×40589641000000     		ar = 13915.7759714978m²