Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65958 / 32057
↖ ↑ ↗
← N 67.279469°
E  1.159058°		 ← 117.97 m → N 67.279469°
E  1.161804°		 →
↑
117.93 m
↓
↑
117.93 m
↓
N 67.278409°
E  1.159058°		 ← 117.97 m →
13 912 m²		 N 67.278409°
E  1.161804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503223419189453 y=0.244579315185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503223419189453 × 217)
    floor (0.503223419189453 × 131072)
    floor (65958.5)     		tx = 65958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244579315185547 × 217)
    floor (0.244579315185547 × 131072)
    floor (32057.5)     		ty = 32057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65958 / 32057 ti = "17/65958/32057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65958/32057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65958 ÷ 217
    65958 ÷ 131072     		x = 0.503219604492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32057 ÷ 217
    32057 ÷ 131072     		y = 0.244575500488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503219604492188 × 2 - 1) × π
    0.006439208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02022937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.244575500488281 × 2 - 1) × π
    0.510848999023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.60487946237986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02022937} λ = 0.02022937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60487946237986))-π/2
    2×atan(4.97725961955078)-π/2
    2×1.3725222954651-π/2
    2.74504459093019-1.57079632675     		φ = 1.17424826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02022937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.159058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17424826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.279469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65958 KachelY 32057 0.02022937 1.17424826 1.159058 67.279469
    Oben rechts KachelX + 1 65959 KachelY 32057 0.02027731 1.17424826 1.161804 67.279469
    Unten links KachelX 65958 KachelY + 1 32058 0.02022937 1.17422975 1.159058 67.278409
    Unten rechts KachelX + 1 65959 KachelY + 1 32058 0.02027731 1.17422975 1.161804 67.278409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17424826-1.17422975) × R
    1.85099999998606e-05 × 6371000     		dl = 117.927209999112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17424826-1.17422975) × R
    1.85099999998606e-05 × 6371000     		dr = 117.927209999112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02022937-0.02027731) × cos(1.17424826) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.386236587472228 × 6371000     		do = 117.966595543779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02022937-0.02027731) × cos(1.17422975) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.38625366102543 × 6371000     		du = 117.971810246401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17424826)-sin(1.17422975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386236587472228-0.38625366102543)×R²
    abs(0.02027731-0.02022937)×1.70735532021293e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.70735532021293e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.70735532021293e-05×40589641000000     		ar = 13911.7789636317m²