Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65944 / 37017
↖ ↑ ↗
← N 61.405922°
E  1.120606°		 ← 146.15 m → N 61.405922°
E  1.123352°		 →
↑
146.21 m
↓
↑
146.21 m
↓
N 61.404607°
E  1.120606°		 ← 146.15 m →
21 369 m²		 N 61.404607°
E  1.123352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503116607666016 y=0.282421112060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503116607666016 × 217)
    floor (0.503116607666016 × 131072)
    floor (65944.5)     		tx = 65944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282421112060547 × 217)
    floor (0.282421112060547 × 131072)
    floor (37017.5)     		ty = 37017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65944 / 37017 ti = "17/65944/37017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65944/37017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65944 ÷ 217
    65944 ÷ 131072     		x = 0.50311279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37017 ÷ 217
    37017 ÷ 131072     		y = 0.282417297363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50311279296875 × 2 - 1) × π
    0.0062255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01955826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.282417297363281 × 2 - 1) × π
    0.435165405273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.36711244026438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01955826} λ = 0.01955826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36711244026438))-π/2
    2×atan(3.92400352595599)-π/2
    2×1.32126592163367-π/2
    2.64253184326735-1.57079632675     		φ = 1.07173552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01955826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.120606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07173552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.405922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65944 KachelY 37017 0.01955826 1.07173552 1.120606 61.405922
    Oben rechts KachelX + 1 65945 KachelY 37017 0.01960619 1.07173552 1.123352 61.405922
    Unten links KachelX 65944 KachelY + 1 37018 0.01955826 1.07171257 1.120606 61.404607
    Unten rechts KachelX + 1 65945 KachelY + 1 37018 0.01960619 1.07171257 1.123352 61.404607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07173552-1.07171257) × R
    2.29499999999661e-05 × 6371000     		dl = 146.214449999784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07173552-1.07171257) × R
    2.29499999999661e-05 × 6371000     		dr = 146.214449999784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01955826-0.01960619) × cos(1.07173552) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.478601107699577 × 6371000     		do = 146.146605807386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01955826-0.01960619) × cos(1.07171257) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.478621258418216 × 6371000     		du = 146.152759071735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07173552)-sin(1.07171257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478601107699577-0.478621258418216)×R²
    abs(0.01960619-0.01955826)×2.01507186391447e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.01507186391447e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.01507186391447e-05×40589641000000     		ar = 21369.1954365071m²