Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6594 / 3262
↖ ↑ ↗
← N 34.379713°
E109.775390°		 ← 4 032.89 m → N 34.379713°
E109.819336°		 →
↑
4 033.73 m
↓
↑
4 033.73 m
↓
N 34.343436°
E109.775390°		 ← 4 034.64 m →
16 271 127 m²		 N 34.343436°
E109.819336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80499267578125 y=0.39825439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80499267578125 × 213)
    floor (0.80499267578125 × 8192)
    floor (6594.5)     		tx = 6594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.39825439453125 × 213)
    floor (0.39825439453125 × 8192)
    floor (3262.5)     		ty = 3262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6594 / 3262 ti = "13/6594/3262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6594/3262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6594 ÷ 213
    6594 ÷ 8192     		x = 0.804931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3262 ÷ 213
    3262 ÷ 8192     		y = 0.398193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804931640625 × 2 - 1) × π
    0.60986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.91594200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.398193359375 × 2 - 1) × π
    0.20361328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.639669988530029
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91594200} λ = 1.91594200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.639669988530029))-π/2
    2×atan(1.8958551221214)-π/2
    2×1.08541775359909-π/2
    2.17083550719819-1.57079632675     		φ = 0.60003918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91594200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.775390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60003918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.379713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6594 KachelY 3262 1.91594200 0.60003918 109.775390 34.379713
    Oben rechts KachelX + 1 6595 KachelY 3262 1.91670899 0.60003918 109.819336 34.379713
    Unten links KachelX 6594 KachelY + 1 3263 1.91594200 0.59940604 109.775390 34.343436
    Unten rechts KachelX + 1 6595 KachelY + 1 3263 1.91670899 0.59940604 109.819336 34.343436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60003918-0.59940604) × R
    0.000633140000000032 × 6371000     		dl = 4033.7349400002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60003918-0.59940604) × R
    0.000633140000000032 × 6371000     		dr = 4033.7349400002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91594200-1.91670899) × cos(0.60003918) × R
    0.000766990000000023 × 0.825313491584101 × 6371000     		do = 4032.8888387723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91594200-1.91670899) × cos(0.59940604) × R
    0.000766990000000023 × 0.825670844349012 × 6371000     		du = 4034.6350406602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60003918)-sin(0.59940604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825313491584101-0.825670844349012)×R²
    abs(1.91670899-1.91594200)×0.000357352764910335×R²
    0.000766990000000023×0.000357352764910335×6371000²
    0.000766990000000023×0.000357352764910335×40589641000000     		ar = 16271127.0194189m²