Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65939 / 37042
↖ ↑ ↗
← N 61.373042°
E  1.106873°		 ← 146.33 m → N 61.373042°
E  1.109619°		 →
↑
146.34 m
↓
↑
146.34 m
↓
N 61.371726°
E  1.106873°		 ← 146.34 m →
21 415 m²		 N 61.371726°
E  1.109619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503078460693359 y=0.282611846923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503078460693359 × 217)
    floor (0.503078460693359 × 131072)
    floor (65939.5)     		tx = 65939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282611846923828 × 217)
    floor (0.282611846923828 × 131072)
    floor (37042.5)     		ty = 37042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65939 / 37042 ti = "17/65939/37042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65939/37042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65939 ÷ 217
    65939 ÷ 131072     		x = 0.503074645996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37042 ÷ 217
    37042 ÷ 131072     		y = 0.282608032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503074645996094 × 2 - 1) × π
    0.0061492919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01931857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.282608032226562 × 2 - 1) × π
    0.434783935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.36591401777388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01931857} λ = 0.01931857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36591401777388))-π/2
    2×atan(3.91930372861159)-π/2
    2×1.32097898754456-π/2
    2.64195797508912-1.57079632675     		φ = 1.07116165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01931857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.106873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07116165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.373042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65939 KachelY 37042 0.01931857 1.07116165 1.106873 61.373042
    Oben rechts KachelX + 1 65940 KachelY 37042 0.01936651 1.07116165 1.109619 61.373042
    Unten links KachelX 65939 KachelY + 1 37043 0.01931857 1.07113868 1.106873 61.371726
    Unten rechts KachelX + 1 65940 KachelY + 1 37043 0.01936651 1.07113868 1.109619 61.371726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07116165-1.07113868) × R
    2.29700000000665e-05 × 6371000     		dl = 146.341870000424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07116165-1.07113868) × R
    2.29700000000665e-05 × 6371000     		dr = 146.341870000424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01931857-0.01936651) × cos(1.07116165) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.479104905344765 × 6371000     		do = 146.330970252554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01931857-0.01936651) × cos(1.07113868) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.479125067311559 × 6371000     		du = 146.337128236182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07116165)-sin(1.07113868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479104905344765-0.479125067311559)×R²
    abs(0.01936651-0.01931857)×2.01619667937192e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.01619667937192e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.01619667937192e-05×40589641000000     		ar = 21414.7984120127m²