Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65928 / 65930
↖ ↑ ↗
← S  1.082089°
E  1.076660°		 ← 305.37 m → S  1.082089°
E  1.079407°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.084835°
E  1.076660°		 ← 305.37 m →
93 229 m²		 S  1.084835°
E  1.079407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502994537353516 y=0.503009796142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502994537353516 × 217)
    floor (0.502994537353516 × 131072)
    floor (65928.5)     		tx = 65928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503009796142578 × 217)
    floor (0.503009796142578 × 131072)
    floor (65930.5)     		ty = 65930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65928 / 65930 ti = "17/65928/65930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65928/65930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65928 ÷ 217
    65928 ÷ 131072     		x = 0.50299072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65930 ÷ 217
    65930 ÷ 131072     		y = 0.503005981445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50299072265625 × 2 - 1) × π
    0.0059814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01879126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503005981445312 × 2 - 1) × π
    -0.006011962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0188871384503021
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01879126} λ = 0.01879126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0188871384503021))-π/2
    2×atan(0.981290105915394)-π/2
    2×0.775955155580194-π/2
    1.55191031116039-1.57079632675     		φ = -0.01888602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01879126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.076660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01888602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.082089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65928 KachelY 65930 0.01879126 -0.01888602 1.076660 -1.082089
    Oben rechts KachelX + 1 65929 KachelY 65930 0.01883920 -0.01888602 1.079407 -1.082089
    Unten links KachelX 65928 KachelY + 1 65931 0.01879126 -0.01893394 1.076660 -1.084835
    Unten rechts KachelX + 1 65929 KachelY + 1 65931 0.01883920 -0.01893394 1.079407 -1.084835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01888602--0.01893394) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01888602--0.01893394) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01879126-0.01883920) × cos(-0.01888602) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999821664425128 × 6371000     		do = 305.371271725075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01879126-0.01883920) × cos(-0.01893394) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999820758312891 × 6371000     		du = 305.370994975075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01888602)-sin(-0.01893394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999821664425128-0.999820758312891)×R²
    abs(0.01883920-0.01879126)×9.06112236909173e-07×R²
    4.79399999999998e-05×9.06112236909173e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×9.06112236909173e-07×40589641000000     		ar = 93229.2940061183m²