Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65928 / 64893
↖ ↑ ↗
← N  1.765773°
E  1.076660°		 ← 305.28 m → N  1.765773°
E  1.079407°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
N  1.763027°
E  1.076660°		 ← 305.28 m →
93 202 m²		 N  1.763027°
E  1.079407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502994537353516 y=0.495098114013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502994537353516 × 217)
    floor (0.502994537353516 × 131072)
    floor (65928.5)     		tx = 65928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495098114013672 × 217)
    floor (0.495098114013672 × 131072)
    floor (64893.5)     		ty = 64893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65928 / 64893 ti = "17/65928/64893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65928/64893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65928 ÷ 217
    65928 ÷ 131072     		x = 0.50299072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64893 ÷ 217
    64893 ÷ 131072     		y = 0.495094299316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50299072265625 × 2 - 1) × π
    0.0059814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01879126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.495094299316406 × 2 - 1) × π
    0.0098114013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0308234264556961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01879126} λ = 0.01879126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0308234264556961))-π/2
    2×atan(1.0313033869142)-π/2
    2×0.800807436802071-π/2
    1.60161487360414-1.57079632675     		φ = 0.03081855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01879126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.076660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03081855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.765773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65928 KachelY 64893 0.01879126 0.03081855 1.076660 1.765773
    Oben rechts KachelX + 1 65929 KachelY 64893 0.01883920 0.03081855 1.079407 1.765773
    Unten links KachelX 65928 KachelY + 1 64894 0.01879126 0.03077063 1.076660 1.763027
    Unten rechts KachelX + 1 65929 KachelY + 1 64894 0.01883920 0.03077063 1.079407 1.763027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03081855-0.03077063) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03081855-0.03077063) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01879126-0.01883920) × cos(0.03081855) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.99952514607375 × 6371000     		do = 305.280707388182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01879126-0.01883920) × cos(0.03077063) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999526621517281 × 6371000     		du = 305.281158026614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03081855)-sin(0.03077063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99952514607375-0.999526621517281)×R²
    abs(0.01883920-0.01879126)×1.47544353124029e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.47544353124029e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.47544353124029e-06×40589641000000     		ar = 93201.7559014354m²