Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65927 / 65929
↖ ↑ ↗
← S  1.079343°
E  1.073914°		 ← 305.31 m → S  1.079343°
E  1.076660°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.082089°
E  1.073914°		 ← 305.31 m →
93 229 m²		 S  1.082089°
E  1.076660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502986907958984 y=0.503002166748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502986907958984 × 217)
    floor (0.502986907958984 × 131072)
    floor (65927.5)     		tx = 65927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503002166748047 × 217)
    floor (0.503002166748047 × 131072)
    floor (65929.5)     		ty = 65929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65927 / 65929 ti = "17/65927/65929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65927/65929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65927 ÷ 217
    65927 ÷ 131072     		x = 0.502983093261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65929 ÷ 217
    65929 ÷ 131072     		y = 0.502998352050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502983093261719 × 2 - 1) × π
    0.0059661865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01874333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502998352050781 × 2 - 1) × π
    -0.0059967041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0188392015506821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01874333} λ = 0.01874333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0188392015506821))-π/2
    2×atan(0.981337147048193)-π/2
    2×0.775979119766417-π/2
    1.55195823953283-1.57079632675     		φ = -0.01883809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01874333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.073914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01883809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.079343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65927 KachelY 65929 0.01874333 -0.01883809 1.073914 -1.079343
    Oben rechts KachelX + 1 65928 KachelY 65929 0.01879126 -0.01883809 1.076660 -1.079343
    Unten links KachelX 65927 KachelY + 1 65930 0.01874333 -0.01888602 1.073914 -1.082089
    Unten rechts KachelX + 1 65928 KachelY + 1 65930 0.01879126 -0.01888602 1.076660 -1.082089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01883809--0.01888602) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01883809--0.01888602) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01874333-0.01879126) × cos(-0.01883809) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999822568429818 × 6371000     		do = 305.307849135553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01874333-0.01879126) × cos(-0.01888602) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999821664425128 × 6371000     		du = 305.307573086846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01883809)-sin(-0.01888602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999822568429818-0.999821664425128)×R²
    abs(0.01879126-0.01874333)×9.04004689772364e-07×R²
    4.79300000000016e-05×9.04004689772364e-07×6371000²
    4.79300000000016e-05×9.04004689772364e-07×40589641000000     		ar = 93229.3824574225m²