Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65924 / 66173
↖ ↑ ↗
← S  1.749301°
E  1.065674°		 ← 305.22 m → S  1.749301°
E  1.068420°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.752046°
E  1.065674°		 ← 305.22 m →
93 183 m²		 S  1.752046°
E  1.068420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502964019775391 y=0.504863739013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502964019775391 × 217)
    floor (0.502964019775391 × 131072)
    floor (65924.5)     		tx = 65924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504863739013672 × 217)
    floor (0.504863739013672 × 131072)
    floor (66173.5)     		ty = 66173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65924 / 66173 ti = "17/65924/66173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65924/66173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65924 ÷ 217
    65924 ÷ 131072     		x = 0.502960205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66173 ÷ 217
    66173 ÷ 131072     		y = 0.504859924316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502960205078125 × 2 - 1) × π
    0.00592041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01859952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504859924316406 × 2 - 1) × π
    -0.0097198486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0305358050579758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01859952} λ = 0.01859952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0305358050579758))-π/2
    2×atan(0.969925703199444)-π/2
    2×0.770132633037617-π/2
    1.54026526607523-1.57079632675     		φ = -0.03053106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01859952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.065674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03053106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.749301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65924 KachelY 66173 0.01859952 -0.03053106 1.065674 -1.749301
    Oben rechts KachelX + 1 65925 KachelY 66173 0.01864745 -0.03053106 1.068420 -1.749301
    Unten links KachelX 65924 KachelY + 1 66174 0.01859952 -0.03057898 1.065674 -1.752046
    Unten rechts KachelX + 1 65925 KachelY + 1 66174 0.01864745 -0.03057898 1.068420 -1.752046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03053106--0.03057898) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03053106--0.03057898) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01859952-0.01864745) × cos(-0.03053106) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.999533963390491 × 6371000     		do = 305.219720114854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01859952-0.01864745) × cos(-0.03057898) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.999532499421753 × 6371000     		du = 305.219273074388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03053106)-sin(-0.03057898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999533963390491-0.999532499421753)×R²
    abs(0.01864745-0.01859952)×1.46396873768051e-06×R²
    4.79299999999981e-05×1.46396873768051e-06×6371000²
    4.79299999999981e-05×1.46396873768051e-06×40589641000000     		ar = 93182.9995594139m²