Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65923 / 64937
↖ ↑ ↗
← N  1.644977°
E  1.062927°		 ← 305.30 m → N  1.644977°
E  1.065674°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
N  1.642231°
E  1.062927°		 ← 305.30 m →
93 208 m²		 N  1.642231°
E  1.065674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502956390380859 y=0.495433807373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502956390380859 × 217)
    floor (0.502956390380859 × 131072)
    floor (65923.5)     		tx = 65923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495433807373047 × 217)
    floor (0.495433807373047 × 131072)
    floor (64937.5)     		ty = 64937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65923 / 64937 ti = "17/65923/64937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65923/64937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65923 ÷ 217
    65923 ÷ 131072     		x = 0.502952575683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64937 ÷ 217
    64937 ÷ 131072     		y = 0.495429992675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502952575683594 × 2 - 1) × π
    0.0059051513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01855158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.495429992675781 × 2 - 1) × π
    0.0091400146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0287142028724136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01855158} λ = 0.01855158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0287142028724136))-π/2
    2×atan(1.02913042992066)-π/2
    2×0.799753292322173-π/2
    1.59950658464435-1.57079632675     		φ = 0.02871026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01855158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.062927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02871026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.644977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65923 KachelY 64937 0.01855158 0.02871026 1.062927 1.644977
    Oben rechts KachelX + 1 65924 KachelY 64937 0.01859952 0.02871026 1.065674 1.644977
    Unten links KachelX 65923 KachelY + 1 64938 0.01855158 0.02866234 1.062927 1.642231
    Unten rechts KachelX + 1 65924 KachelY + 1 64938 0.01859952 0.02866234 1.065674 1.642231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02871026-0.02866234) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02871026-0.02866234) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01855158-0.01859952) × cos(0.02871026) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999587888794418 × 6371000     		do = 305.299870630072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01855158-0.01859952) × cos(0.02866234) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999589263253388 × 6371000     		du = 305.30029042522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02871026)-sin(0.02866234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999587888794418-0.999589263253388)×R²
    abs(0.01859952-0.01855158)×1.37445896986055e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.37445896986055e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.37445896986055e-06×40589641000000     		ar = 93207.6016987887m²