Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6592 / 3263
↖ ↑ ↗
← N 34.343436°
E109.687500°		 ← 4 034.64 m → N 34.343436°
E109.731445°		 →
↑
4 035.52 m
↓
↑
4 035.52 m
↓
N 34.307144°
E109.687500°		 ← 4 036.38 m →
16 285 368 m²		 N 34.307144°
E109.731445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80474853515625 y=0.39837646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80474853515625 × 213)
    floor (0.80474853515625 × 8192)
    floor (6592.5)     		tx = 6592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.39837646484375 × 213)
    floor (0.39837646484375 × 8192)
    floor (3263.5)     		ty = 3263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6592 / 3263 ti = "13/6592/3263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6592/3263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6592 ÷ 213
    6592 ÷ 8192     		x = 0.8046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3263 ÷ 213
    3263 ÷ 8192     		y = 0.3983154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8046875 × 2 - 1) × π
    0.609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91440802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3983154296875 × 2 - 1) × π
    0.203369140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.638902998136108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91440802} λ = 1.91440802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.638902998136108))-π/2
    2×atan(1.89440157695332)-π/2
    2×1.08510118131151-π/2
    2.17020236262302-1.57079632675     		φ = 0.59940604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91440802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59940604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.343436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6592 KachelY 3263 1.91440802 0.59940604 109.687500 34.343436
    Oben rechts KachelX + 1 6593 KachelY 3263 1.91517501 0.59940604 109.731445 34.343436
    Unten links KachelX 6592 KachelY + 1 3264 1.91440802 0.59877262 109.687500 34.307144
    Unten rechts KachelX + 1 6593 KachelY + 1 3264 1.91517501 0.59877262 109.731445 34.307144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59940604-0.59877262) × R
    0.000633419999999996 × 6371000     		dl = 4035.51881999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59940604-0.59877262) × R
    0.000633419999999996 × 6371000     		dr = 4035.51881999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91440802-1.91517501) × cos(0.59940604) × R
    0.000766990000000023 × 0.825670844349012 × 6371000     		do = 4034.6350406602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91440802-1.91517501) × cos(0.59877262) × R
    0.000766990000000023 × 0.826028023946516 × 6371000     		du = 4036.38039636673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59940604)-sin(0.59877262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825670844349012-0.826028023946516)×R²
    abs(1.91517501-1.91440802)×0.000357179597504143×R²
    0.000766990000000023×0.000357179597504143×6371000²
    0.000766990000000023×0.000357179597504143×40589641000000     		ar = 16285367.8908212m²