Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65913 / 66193
↖ ↑ ↗
← S  1.804206°
E  1.035461°		 ← 305.27 m → S  1.804206°
E  1.038208°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  1.806951°
E  1.035461°		 ← 305.27 m →
93 180 m²		 S  1.806951°
E  1.038208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502880096435547 y=0.505016326904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502880096435547 × 217)
    floor (0.502880096435547 × 131072)
    floor (65913.5)     		tx = 65913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505016326904297 × 217)
    floor (0.505016326904297 × 131072)
    floor (66193.5)     		ty = 66193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65913 / 66193 ti = "17/65913/66193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65913/66193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65913 ÷ 217
    65913 ÷ 131072     		x = 0.502876281738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66193 ÷ 217
    66193 ÷ 131072     		y = 0.505012512207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502876281738281 × 2 - 1) × π
    0.0057525634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01807221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505012512207031 × 2 - 1) × π
    -0.0100250244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0314945430503769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01807221} λ = 0.01807221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0314945430503769))-π/2
    2×atan(0.968996244203002)-π/2
    2×0.769653494529708-π/2
    1.53930698905942-1.57079632675     		φ = -0.03148934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01807221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.035461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03148934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.804206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65913 KachelY 66193 0.01807221 -0.03148934 1.035461 -1.804206
    Oben rechts KachelX + 1 65914 KachelY 66193 0.01812015 -0.03148934 1.038208 -1.804206
    Unten links KachelX 65913 KachelY + 1 66194 0.01807221 -0.03153725 1.035461 -1.806951
    Unten rechts KachelX + 1 65914 KachelY + 1 66194 0.01812015 -0.03153725 1.038208 -1.806951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03148934--0.03153725) × R
    4.79100000000052e-05 × 6371000     		dl = 305.234610000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03148934--0.03153725) × R
    4.79100000000052e-05 × 6371000     		dr = 305.234610000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01807221-0.01812015) × cos(-0.03148934) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.999504251699661 × 6371000     		do = 305.274325708536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01807221-0.01812015) × cos(-0.03153725) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.99950274214758 × 6371000     		du = 305.273864652474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03148934)-sin(-0.03153725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999504251699661-0.99950274214758)×R²
    abs(0.01812015-0.01807221)×1.50955208133574e-06×R²
    4.79400000000033e-05×1.50955208133574e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.50955208133574e-06×40589641000000     		ar = 93180.2194033585m²