Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65912 / 66187
↖ ↑ ↗
← S  1.787735°
E  1.032715°		 ← 305.28 m → S  1.787735°
E  1.035461°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  1.790480°
E  1.032715°		 ← 305.28 m →
93 181 m²		 S  1.790480°
E  1.035461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502872467041016 y=0.504970550537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502872467041016 × 217)
    floor (0.502872467041016 × 131072)
    floor (65912.5)     		tx = 65912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504970550537109 × 217)
    floor (0.504970550537109 × 131072)
    floor (66187.5)     		ty = 66187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65912 / 66187 ti = "17/65912/66187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65912/66187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65912 ÷ 217
    65912 ÷ 131072     		x = 0.50286865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66187 ÷ 217
    66187 ÷ 131072     		y = 0.504966735839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50286865234375 × 2 - 1) × π
    0.0057373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01802427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504966735839844 × 2 - 1) × π
    -0.0099334716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0312069216526566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01802427} λ = 0.01802427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0312069216526566))-π/2
    2×atan(0.969274988341613)-π/2
    2×0.769797234583507-π/2
    1.53959446916701-1.57079632675     		φ = -0.03120186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01802427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.032715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03120186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.787735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65912 KachelY 66187 0.01802427 -0.03120186 1.032715 -1.787735
    Oben rechts KachelX + 1 65913 KachelY 66187 0.01807221 -0.03120186 1.035461 -1.787735
    Unten links KachelX 65912 KachelY + 1 66188 0.01802427 -0.03124977 1.032715 -1.790480
    Unten rechts KachelX + 1 65913 KachelY + 1 66188 0.01807221 -0.03124977 1.035461 -1.790480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03120186--0.03124977) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dl = 305.234609999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03120186--0.03124977) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dr = 305.234609999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01802427-0.01807221) × cos(-0.03120186) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999513261457131 × 6371000     		do = 305.277077520356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01802427-0.01807221) × cos(-0.03124977) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.99951176567144 × 6371000     		du = 305.276620668905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03120186)-sin(-0.03124977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999513261457131-0.99951176567144)×R²
    abs(0.01807221-0.01802427)×1.4957856907527e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.4957856907527e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.4957856907527e-06×40589641000000     		ar = 93181.0599932505m²