Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65911 / 66191
↖ ↑ ↗
← S  1.798716°
E  1.029968°		 ← 305.21 m → S  1.798716°
E  1.032715°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  1.801461°
E  1.029968°		 ← 305.21 m →
93 161 m²		 S  1.801461°
E  1.032715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502864837646484 y=0.505001068115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502864837646484 × 217)
    floor (0.502864837646484 × 131072)
    floor (65911.5)     		tx = 65911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505001068115234 × 217)
    floor (0.505001068115234 × 131072)
    floor (66191.5)     		ty = 66191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65911 / 66191 ti = "17/65911/66191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65911/66191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65911 ÷ 217
    65911 ÷ 131072     		x = 0.502861022949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66191 ÷ 217
    66191 ÷ 131072     		y = 0.504997253417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502861022949219 × 2 - 1) × π
    0.0057220458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01797634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504997253417969 × 2 - 1) × π
    -0.0099945068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0313986692511368
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01797634} λ = 0.01797634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0313986692511368))-π/2
    2×atan(0.969089150007928)-π/2
    2×0.769701407736934-π/2
    1.53940281547387-1.57079632675     		φ = -0.03139351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01797634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.029968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03139351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.798716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65911 KachelY 66191 0.01797634 -0.03139351 1.029968 -1.798716
    Oben rechts KachelX + 1 65912 KachelY 66191 0.01802427 -0.03139351 1.032715 -1.798716
    Unten links KachelX 65911 KachelY + 1 66192 0.01797634 -0.03144142 1.029968 -1.801461
    Unten rechts KachelX + 1 65912 KachelY + 1 66192 0.01802427 -0.03144142 1.032715 -1.801461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03139351--0.03144142) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dl = 305.234609999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03139351--0.03144142) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dr = 305.234609999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01797634-0.01802427) × cos(-0.03139351) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.999507264235013 × 6371000     		do = 305.211567206538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01797634-0.01802427) × cos(-0.03144142) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.999505759271875 × 6371000     		du = 305.211107647939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03139351)-sin(-0.03144142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999507264235013-0.999505759271875)×R²
    abs(0.01802427-0.01797634)×1.50496313866544e-06×R²
    4.79299999999981e-05×1.50496313866544e-06×6371000²
    4.79299999999981e-05×1.50496313866544e-06×40589641000000     		ar = 93161.0635649935m²