Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65909 / 66186
↖ ↑ ↗
← S  1.784989°
E  1.024475°		 ← 305.28 m → S  1.784989°
E  1.027222°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.787735°
E  1.024475°		 ← 305.28 m →
93 201 m²		 S  1.787735°
E  1.027222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502849578857422 y=0.504962921142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502849578857422 × 217)
    floor (0.502849578857422 × 131072)
    floor (65909.5)     		tx = 65909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504962921142578 × 217)
    floor (0.504962921142578 × 131072)
    floor (66186.5)     		ty = 66186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65909 / 66186 ti = "17/65909/66186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65909/66186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65909 ÷ 217
    65909 ÷ 131072     		x = 0.502845764160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66186 ÷ 217
    66186 ÷ 131072     		y = 0.504959106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502845764160156 × 2 - 1) × π
    0.0056915283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01788046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504959106445312 × 2 - 1) × π
    -0.009918212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0311589847530365
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01788046} λ = 0.01788046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0311589847530365))-π/2
    2×atan(0.969321453493122)-π/2
    2×0.769821191384855-π/2
    1.53964238276971-1.57079632675     		φ = -0.03115394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01788046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.024475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03115394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.784989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65909 KachelY 66186 0.01788046 -0.03115394 1.024475 -1.784989
    Oben rechts KachelX + 1 65910 KachelY 66186 0.01792840 -0.03115394 1.027222 -1.784989
    Unten links KachelX 65909 KachelY + 1 66187 0.01788046 -0.03120186 1.024475 -1.787735
    Unten rechts KachelX + 1 65910 KachelY + 1 66187 0.01792840 -0.03120186 1.027222 -1.787735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03115394--0.03120186) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03115394--0.03120186) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01788046-0.01792840) × cos(-0.03115394) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.99951475526006 × 6371000     		do = 305.277533766221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01788046-0.01792840) × cos(-0.03120186) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999513261457131 × 6371000     		du = 305.277077520356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03115394)-sin(-0.03120186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99951475526006-0.999513261457131)×R²
    abs(0.01792840-0.01788046)×1.49380292913115e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.49380292913115e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.49380292913115e-06×40589641000000     		ar = 93200.6485648583m²