Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65907 / 64902
↖ ↑ ↗
← N  1.741065°
E  1.018982°		 ← 305.28 m → N  1.741065°
E  1.021729°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
N  1.738320°
E  1.018982°		 ← 305.29 m →
93 203 m²		 N  1.738320°
E  1.021729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502834320068359 y=0.495166778564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502834320068359 × 217)
    floor (0.502834320068359 × 131072)
    floor (65907.5)     		tx = 65907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495166778564453 × 217)
    floor (0.495166778564453 × 131072)
    floor (64902.5)     		ty = 64902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65907 / 64902 ti = "17/65907/64902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65907/64902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65907 ÷ 217
    65907 ÷ 131072     		x = 0.502830505371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64902 ÷ 217
    64902 ÷ 131072     		y = 0.495162963867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502830505371094 × 2 - 1) × π
    0.0056610107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01778459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.495162963867188 × 2 - 1) × π
    0.009674072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0303919943591156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01778459} λ = 0.01778459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0303919943591156))-π/2
    2×atan(1.0308585454981)-π/2
    2×0.800591821760864-π/2
    1.60118364352173-1.57079632675     		φ = 0.03038732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01778459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.018982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03038732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.741065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65907 KachelY 64902 0.01778459 0.03038732 1.018982 1.741065
    Oben rechts KachelX + 1 65908 KachelY 64902 0.01783253 0.03038732 1.021729 1.741065
    Unten links KachelX 65907 KachelY + 1 64903 0.01778459 0.03033940 1.018982 1.738320
    Unten rechts KachelX + 1 65908 KachelY + 1 64903 0.01783253 0.03033940 1.021729 1.738320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03038732-0.03033940) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03038732-0.03033940) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01778459-0.01783253) × cos(0.03038732) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999538340917501 × 6371000     		do = 305.284737433099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01778459-0.01783253) × cos(0.03033940) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999539795706151 × 6371000     		du = 305.285181762999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03038732)-sin(0.03033940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999538340917501-0.999539795706151)×R²
    abs(0.01783253-0.01778459)×1.4547886505456e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.4547886505456e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.4547886505456e-06×40589641000000     		ar = 93202.9853043903m²