Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65906 / 66179
↖ ↑ ↗
← S  1.765773°
E  1.016235°		 ← 305.28 m → S  1.765773°
E  1.018982°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  1.768518°
E  1.016235°		 ← 305.28 m →
93 182 m²		 S  1.768518°
E  1.018982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502826690673828 y=0.504909515380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502826690673828 × 217)
    floor (0.502826690673828 × 131072)
    floor (65906.5)     		tx = 65906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504909515380859 × 217)
    floor (0.504909515380859 × 131072)
    floor (66179.5)     		ty = 66179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65906 / 66179 ti = "17/65906/66179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65906/66179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65906 ÷ 217
    65906 ÷ 131072     		x = 0.502822875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66179 ÷ 217
    66179 ÷ 131072     		y = 0.504905700683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502822875976562 × 2 - 1) × π
    0.005645751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01773665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504905700683594 × 2 - 1) × π
    -0.0098114013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0308234264556961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01773665} λ = 0.01773665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0308234264556961))-π/2
    2×atan(0.969646771928229)-π/2
    2×0.769988889992825-π/2
    1.53997777998565-1.57079632675     		φ = -0.03081855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01773665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.016235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03081855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.765773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65906 KachelY 66179 0.01773665 -0.03081855 1.016235 -1.765773
    Oben rechts KachelX + 1 65907 KachelY 66179 0.01778459 -0.03081855 1.018982 -1.765773
    Unten links KachelX 65906 KachelY + 1 66180 0.01773665 -0.03086646 1.016235 -1.768518
    Unten rechts KachelX + 1 65907 KachelY + 1 66180 0.01778459 -0.03086646 1.018982 -1.768518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03081855--0.03086646) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dl = 305.234609999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03081855--0.03086646) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dr = 305.234609999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01773665-0.01778459) × cos(-0.03081855) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.99952514607375 × 6371000     		do = 305.280707388182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01773665-0.01778459) × cos(-0.03086646) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999523668643598 × 6371000     		du = 305.280256142984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03081855)-sin(-0.03086646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99952514607375-0.999523668643598)×R²
    abs(0.01778459-0.01773665)×1.47743015177504e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.47743015177504e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.47743015177504e-06×40589641000000     		ar = 93182.1688101512m²