Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65906 / 64903
↖ ↑ ↗
← N  1.738320°
E  1.016235°		 ← 305.29 m → N  1.738320°
E  1.018982°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
N  1.735575°
E  1.016235°		 ← 305.29 m →
93 184 m²		 N  1.735575°
E  1.018982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502826690673828 y=0.495174407958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502826690673828 × 217)
    floor (0.502826690673828 × 131072)
    floor (65906.5)     		tx = 65906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495174407958984 × 217)
    floor (0.495174407958984 × 131072)
    floor (64903.5)     		ty = 64903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65906 / 64903 ti = "17/65906/64903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65906/64903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65906 ÷ 217
    65906 ÷ 131072     		x = 0.502822875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64903 ÷ 217
    64903 ÷ 131072     		y = 0.495170593261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502822875976562 × 2 - 1) × π
    0.005645751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01773665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.495170593261719 × 2 - 1) × π
    0.0096588134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0303440574594955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01773665} λ = 0.01773665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0303440574594955))-π/2
    2×atan(1.03080913051989)-π/2
    2×0.800567864358867-π/2
    1.60113572871773-1.57079632675     		φ = 0.03033940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01773665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.016235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03033940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.738320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65906 KachelY 64903 0.01773665 0.03033940 1.016235 1.738320
    Oben rechts KachelX + 1 65907 KachelY 64903 0.01778459 0.03033940 1.018982 1.738320
    Unten links KachelX 65906 KachelY + 1 64904 0.01773665 0.03029149 1.016235 1.735575
    Unten rechts KachelX + 1 65907 KachelY + 1 64904 0.01778459 0.03029149 1.018982 1.735575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03033940-0.03029149) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dl = 305.234609999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03033940-0.03029149) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dr = 305.234609999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01773665-0.01778459) × cos(0.03033940) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999539795706151 × 6371000     		do = 305.285181762999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01773665-0.01778459) × cos(0.03029149) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999541247896664 × 6371000     		du = 305.285625299361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03033940)-sin(0.03029149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999539795706151-0.999541247896664)×R²
    abs(0.01778459-0.01773665)×1.45219051239653e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.45219051239653e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.45219051239653e-06×40589641000000     		ar = 93183.6711033517m²